6 . Kritische Gitter und dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper 27, 15

des Eichkörpers und M^ die kleinste Strahldistanz im Gitter ist. is hold^^) bestimmt q){f) für die ebene Distanzfunktion / = (|||^ + |^|^)^ , wo I und rj Linearformen der Koordinatendifferenzen sind.

6 . Kritische Gitter und dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper. Es sei eine wechselseitige einhellige Distanzfunktion gegeben, ihr Eichkörper sei K. Ein Gitter heiße für К kritisch (Nr. 7,2), wenn keiner seiner Gitterpunkte außer 0 in К liegt und seine Determinante А (К) möglichst klein ist. Die Stufen um die einzelnen Gitter punkte dringen nirgends ineinander ein, erfüllen aber den Raum mindestens so dicht, wie irgendeine andere gitterförmige Lagerung derselben Stufe.

Zur Bestimmung der kritischen Gitter machte Lord Kelvin^^) für n = 2 und n = 3 den Ansatz, daß es immer 3 bzw. 4 sich gegenseitig berührende Stufen geben müsse. Minkowski''^) zeigt, daß damit nur ein Teil der scheinungen erfaßt wird, und gibt ein Beispiel, für das der Kelvin^che Ansatz nicht zum Ziele führt.

Minkowski zeigt, daß für n = 2 ein Sechseck, und für n = 3 eine der drei gezeichneten Figuren (Abb. 6 bis 8) von Gitterpunkten eines kriti-

Abb . 6 Abb. 7 Abb. 8

sehen Gitters auf der Begrenzung des Eichkörpers liegt und betimmt die kritischen Gitter durch Variation der Parameter. J .V .Whitworih'^^^) tersucht die kritischen Gitter eines Doppelkegels, der durch Rotation eines Quadrats um eine Diagonale entstanden ist, sowie'''^) die eines W ürf elausschnittes

lo^l <l,|y| <1, 1^1 < 1,1^+2/+ ^1 <T (0 <r <3).

68 ) Math. Z. 47, 199—214, 1940.

69 ) Baltimore lectures on molecular dynamics. London 1904, Appendix H S. 618.

70 ) Werken S. 3—42 §10; 1911; Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, math.-phys. Kl. FGl, 311—355, 1904.

70a ) Proc. London Math.Soc. (2) 53, 422-443, 1951. 70b) Ann. Mat. Рига Appl. (4) 27, 153-163, 1948.