70 H Esser

Ferner seien n lineare Randfunktionale definiert durch

ВДз ; ) = "1{В,,Да)/^Ча) + В,,ДЬ)/^ЧЬ)}(/ = 0,1,...,п-1;убС«-Ча,Ь]), (1.2)

wobei die Bji{a), Bji(b) {jj = 0,l,...,n — l) reelle Zahlen sind. Die lineare Zweipunktrandwertaufgabe besteht darin, zu gegebenen feCla,b'], yieR (/ = 0,1, ...,n-l)einy6C"[a,b] mit

iLy ) { x ) =fix ) {xelaM ^^^^

Bi { y ) = yi (/ = 0,l,...,(n-l))

zu finden.

Für das weitere setzen wir voraus, daß (1.3) eindeutig lösbar ist, oder, was dasselbe ist, daß das entsprechende homogene Problem nur die triviale Lösung besitzt.

Für die Diskretisierung des Problems sei iVeN, und

T^ = it;r = a + i/î,ï = 0,l,...,N,/î = -^^

ein äquidistantes Gitter ^ (mit Maschenweite h) über dem Intervall [a,b]. Der lineare Raum der Gitterfunktionen über T^ sei mit С(7^) bezeichnet. C{Tf) ist ein (endlich dimensionaler) normierter Raum unter jeder der Normen Ц'Ц^ ^r

( 1 . 4 )

ЬнкМ^^цунт''' (i^p<oo)

teTh

|| } ; , || , , ^ = max|j;,(r)| (p = oo) (y,eC(T,)).

teTh

Wie üblich ist der Verschiebungsoperator E erklärt durch

( Ey , ) { t ) = y,{t^h) (r = a,...,b-fe;jGC(T,)), und£'^ = £E^-4fc = l,2,...)£^ = /. Ferner ist

D=i ( £ - / ) = ^J, und D^ = DD^-' (/c=l,2,...), D^ = /. n h

Wir setzen noch £-^ = (£-0^^ = 1,2,...), wobei E~^ natürlich durch (£"^й)(0 = Уf^(t — h) {t = h,,..,b) gegeben ist. Der rückwärtige Differenzenquotient wird mit D_ bezeichnet. Dann gilt D_=E'^^D. Für c,dG[a,fc] ist die Menge der

Gitterpunkte in [c, d] durch [c, d]^ gekennzeichnet. Ist Л = ^ ^k ^^ ^^^ linearer

Differenzenoperator , A: C([a,b]^)-^C([a + p/i,b —^й]^), so verstehen wir unter МЗ'йНл.р den entsprechenden Ausdruck in (1.4), wobei Tf^ ersetzt wird durch la + ph^b — qh^. Ist ур^ eine Gitterfunktion, so setzen wir manchmal auch y^^{a +j h)

Der Übersicht wegen wählen wir ein äquidistantes Gitter