Die Bewegungsgeometrie auf der Kugel

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Kurven ti (t) und r/ (t) mit den geodätischen Gesamtkrummungen и = hj- s, bzw_ u' =h — s. Wegen x^ = %% = — % %, r/ = ^0 ^1 = — $1 %y sowie (5) und (6) erhalten wir ^' = ± r/, ^^; = =p 2 s Wir entscheiden uns etwa fur jene Orientierung, die dem oberen Vorzeichen jeweils zukommt

p' =::X^\W = —2S (8)

Die zweite Formel m (8) besagt im wesentlichen die mung des infinitesimalen Drehwinkels auf der Einheitskugel zum Zeitpunkt t mit dem Bogenelement der Bildkurve im Parameterraum Bei unserer Vorzeichenwahl weist der ,,rechte" Richtungsvektor г^' der Kurventangente 6?^ nach dem augenblicklichen Drehpol p' = t/ Der ,,linke" Eichtungsvektor Xi = p gibt jenen Punkt von K, der durch die Drehung ^ m den Drehpol p' übergeht. Aus (7) entnimmt man nua leicht, daß unser Drehvorgang durch Abrollen der m К befestigten Gangpolbahn p (t) nach der jeweils erfolgten Drehung $ auf der in K' festen Rastpolbahn p' (t) entsteht

Dieser Gegenüberstellung von Drehpolen auf der Kugel und genten an die Bildkurve im Parameterraum liegt folgender Sachverhalt zugrunde Fassen wir die Geraden G des elliptischen Raumes als elemente auf, so stellt diese von G Fuhm, J. Hjelmslev und E Study um 1900 betrachtete Abbildung auf gerichtete Punktepaare t, x' der beiden Richtungskugeln eine hnematische Abbildung dar, bei der den Punkten Ф des elliptischen Raumes, aufgefaßt als Trager von Strahl- bundeln, die Drehungen von der linken zur rechten Richtungskugel entsprechen t' = $ t ^ Den Punkten einer Kurve des elliptischen Raumes wird so eine stetige Folge von Drehungen, also ein eingliedriger Drehvorgang der Kugel zugeordnet. Die Tangentenflache (Torse) der Kurve bildet sich auf die beiden Polbahnen ab Beim Fortschreiten von einem Kurvenpunkt zum benachbarten verhalt sich die tangente stationär (im Vergleich zu beliebigen Geraden durch die Kurvenpunkte). Dies spiegelt sich im augenblicklichen Stillstand des Drehpoles wider.

Die Bahnkurve eines m К befestigten Punktes 5 kann als Ort der rechten Bildpunkte 5' aller Strahlen betrachtet werden, die die Bila- kurve des Dj schneiden und zugleich im Chffordschen Sinne linksparallel sind, d. h. dem Netz linksparalleler Geraden angehören, dessen Strahlen m j den festen linken Bildpunkt haben.