über eine Verallgemeinerung des Verfahrens 35

Z , ( « ) = ZJ«) + Z j ^^^ [D,D^ZJ^ (,),,dt (i=l, ...,n), (8)

a=0 «0 "•

welche angeben, wie die Näherungslösungen (7) abzuändern sind, damit die gesuchten Lösungsfunktionen entstehen.

Bemerkung : Zunächst ist nach dem Vorgang der Umordnung (vgl. [1], § 12) sicher, daß die Reihen (8) wenigstens im Konvergenzgebiet der Reihen (4) konvergieren und die Lösungen darstellen; wie das tatsächliche gebiet der Reihen (8) aussieht, läßt sich im allgemeinen Fall aber kaum sagen. Ein sehr einfaches Beispiel soll dies ein wenig erläutern :

Die zum Operator

1> = [^. + Нглщ+щ + 4г

gehörige Reihe

konvergiert nur in einem Kreis um Îq, der durch den nächstgelegenen singulären Punkt der Funktion ä(Z(0) + ^ — ^o) ii^ der komplexen ^ Ebene geht, während

beispielsweise die Zerlegung

nach (8) die Reihe

Z^ ( t ) = Ziait) + I! J ^^ ~7 ^° [Zia(r) + h(Z2a{T)) - l] dr

mit Zia(t) = Z(^) + f — ^0 (^ = 1> 2) liefert, welche längs jeden von Iq ausgehenden Weges %, der singulare Stellen von h(Z(P^ + ^ — ^o) meidet, konvergiert.

Durch (5) zusammen mit (8) wird gewissermaßen ein Limitierungsverfahren für die Reihen (4) definiert. Zwischen den beiden extremen Fällen D^ = 0 (es entsteht wieder die ursprüngliche Reihe (4)) bzw. Da = 0 (die Summe auf der rechten Seite von (8) fällt weg, die Lösungen von (1) werden bereits durch (7) dargestellt) gibt es zahlreiche für die praktische Rechnung zweckmäßige legungsmöglichkeiten des Operators D.

3 . Wenn man sich mit endlichen Abschnitten der Reihen (8) begnügt, kann man die Voraussetzung der Regularität des Systems (1) fallen lassen. Existieren in einem Bereich

S8 = {(Zi, ...,Z„«)| \Z,-Zf\^b (г = 1, ...,n), |«-^o I < «}

etwa nur alle partiellen Ableitungen der Funktionen êj^ (ä;=1, ,. .,n) bis einschließlich zu einer Ordnung m(0 < m) imd sind diese noch stetig, so kann man folgende Rechmmg anstellen: