290 A. Dinghas

bzw . in

JfiT / : ||ж||< Ä, x^>0 (1.5)

im Zusammenhang mit dem Einfluß von isolierten Singidaritäten (d. h. isolierten Punkten, in denen u{x) den Wert —oo hat) auf das Wachstum von u(x) untersucht. Es handelt sich also hier um eine Reihe von Sätzen, die für den Fall n = 2 und für и = log\ w{z) |, wobei w(z) eine in Ю bzw. K^^ holomorphe Funktion der komplexen Veränderlichen z ist, längst bekannt sind.

2 . Konvexitätssätze

Ist u{x) subharmonisch in K"^, so setzen wir

M ( r , u) = Max {u(x) I II ж II = r < Ä}. (2.1)

Für die Größe M(r, u) gilt der Satz:^

Satz 1, Es sei

flogr fürn = 2 ^-\r^-' fmn>2. ^^'"^^

Dann ist r**""^ M(r, u) konvex in |.

Mit anderen Worten: Es sei 0 < r^ < r < r^ < R. Dann gilt für

n = 2 die Ungleichung

Гз r

log— loff -

M ( r , u) < M(ri, u)--------+ ilf (Гз, и) —^ (2.3)

Iqct - - - - loa----

^ r j ^ r j

und für n > 2 die Ungleichung

r " - ' M{r, u) < r«,-' Mir,, u) ^, ~~^, + rr' M(r„ u) ',~'L,.

( 2 . 4 )

Für eine in K^^ subharmonische Funktion u(x), sofern diese der Bedingung

НтЦж ) <0 (хвК^'^) (2.5)

genügt , gilt ein entsprechender Satz. Man setze nämlich x^ — r cos ê

7t

( r == II Ж ||, 11? I < Г-) und bezeichne durch S^ die Halbkugel x^^ -{- ... ... +x^^== f 2, »1 > 0. Wird dann

* Man vgl. etwa Dinghas [1].