Charakterisierung von Gruppenklassen mit Hilfe der inversen Operation

Von

Gerd Baron und Wilfried Imrich, Wien

( Eingegangen am 13. Dezember I960)

Im Gruppoid <(?,/>, bestehend aus der nichtleeren Menge G und einer zweistelligen Operation /, seien die Operationen . und ' folgendermaßen definiert :

a' = (a/a)/a a.b = ajb' Dadurch wird dem Gruppoid <G, I > ein geordnetes Tripel <G,./ > zugeordnet. In Baron [1] wurde gezeigt, daß <(?,.,' > eine Gruppe ist, wenn die Bedingung

( T ) (a/b')/c' = (ald')le' ==> 6 = d/(c/e) V a, b, c, d, e, €G

erfüUt ist. Ist umgekehrt eine Gruppe <G,./> gegeben, und definiert man

a / 6 = a.b'

so gilt (T). Dem geordneten Tripel <G,./> wird dadurch eineindeutig

em Gruppoid <Gy l> zugeordnet, denn es gilt dann

ajb = a.b = ajb" — ajb

a ! = {a\d)\a = (a.a').a' = a!

Beachtet man, daß (T) nur die abgekürzte Schreibweise für eine

Identität in <G, /> ist, weil die Operation ' in <G, /> durch / definiert

ist , so kann man den obigen Sachverhalt im folgenden Satz formulieren.

Satz 1 : Bas geordnete Tripel <G, ./> ist genau dann eine Gruppe, шпп in <G, l> die Identität {T) erfüllt ist,

Morgado [2] hat durch eine ähnliche Bedingung die abelschen Gruppen cbarakterisiert. Sein Ergebnis lautet in unserer Schreibweise:

Satz 2 : Das geordnete Tripel <G, ., ' > ist genau dann eine abelsche ^'^ppe, wenn in <G, /> die Bedingung

Monatehefte für Mathematik. Bd. 70/4. 19