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© by Springer-Verlag 1977

Minkowski - Ebenen mit Spiegelungen

Von Karl Jakob Dienst, Darmstadt

( Eingegangen am 6. Dezember 1976)

Abstract

Minkowski - Planes With Reflections. The miquelian Minkowski-planes can be characterized by cycle-reflections. More exactly: If ^ is a non degenerate quadric of index 2 m a 3-dimensional pappian projective space, and if 3 IS the set of plane intersections of ^, which don't contain a line of ^ (the elements of 3 are called cycles), then the incidence-structure (^, 3»^) IS a miquelian Minkowski-plane. In these hold:

( * ) there exists a reflection on every cycle (i. e. a non-identical morphism of the Minkowski-plane, which fixes the points of the cycle) and

( * * ) the product of three reflections on cycles through two fixed points fixes the points of a cycle.

It IS shown, that the properties (*) and (**) characterize the miquelian Minkowski-planes under the Minkowski-planes (i. e. incidence-structures, which are generalizations of intersection-geometries of quadncs mentioned above). Counter-examples show, that miquelian Minkowski-planes could not be characterized only by property (*).

1 . Definitionen und ein Satz

Eine MinkowsM-Ebene^ ist eine Inzidenzstruktur (^,3,e), stehend aus einer Menge ^, deren Elemente Punkte heißen, mit zwei Äquivalenzrelationen ||+ und ||- auf ^ und einer Menge 3 von Teilmengen von ^, deren Elemente Zykel heißen, die folgenden Bedingungen genügt :

[ Ml ] Durch drei paarweise nicht parallele 2 Punkte geht genau ein Zykel.

^ Analog zu Mobius- und Laguerre-Ebenen sollte man diese Inzidenz- strukturen genauer ,,Minkowski-Ebenen im engeren Smne" nennen.

2 Punkte A, В heißen nicht parallel, wenn weder A\\+B noch A\\-B gilt.