Analytische Vektoren \ on Faltungshalbgruppen TI 117

tisch , wenn / schon ist und es eine analytische Funktion / auf GjN gibt, so daß / = Jo тгдг ist )

4 . 2 . Proposition: Die Funkhonen m A^{G) sind analytisch

Beweis Wir fuhren den Beweis fur Moore-Gruppen Wir wissen, daß A^ (6r) aus schonen Funktionen besteht (3 9, 3 b 7), dürfen daher oBdA voraussetzen, daß G eine (Mooresche) Lie-Gruppe ist Nun sei f£L\{G) Fur jedes yeG sind die Koeffizienten von xv-^[x,y) analytische Funktionen Da Tr {q) kompakt ist, ist

G3xv^f { x ) = j Sp(/(7)(^,y)*)rfû., (y)

Гг ( / )

analytisch П (Siehe auch [3], 1 7 und 4 2 )

In ^ 3 (resp m [5]) wurden die Räume A^{G) mit einer vexen Topologie versehen In [5] wurde gezeigt, daß diese Topologie dem ursprünglichen Problem — der Beschreibung translationsmva- rianter Halbgruppen — angepaßt war Nun zeigen wir eme weitere schone Eigenschaft dieser Topologie

G sei eme lokalkompakte abelsche Gruppe Dann gilt

4 . 3 . Satz : A ^ und B^ sind vollständig Die beschrankten Mengen von A^ liegen m einer Kugel {JeA^ f^L^K^ 11/11/' ^ ^}^ dasselbe gilt fur die beschrankten Mengen von B^

Beweis Es genügt, die Vollständigkeit von L[ (G) zu zeigen Da jede lokalkompakte Gruppe parakompakt ist ([9], I, th 8 13), kann man eine lokalendhche offene Verfeinerung % derjenigen deckung wählen, die aus den offenen relativkompakten Teilen von G besteht

{ ( pc (9еЩ sei eine Partition der Ems, die ^ untergeordnet ist Sei K{([j) = Trager {ц)(^) ^(9 Sei L die lokalkonvexe direkte Summe der Familie (/^(o (Se^) Man bettet h\ veimoge 0 /i-> ®]ц)(

mjektiv m L em Wegen д ^ (g) = Yj ^( (ö') (die Summe ist endlich)

ist д em Homoomorphismus und 6(L\) abgeschlossen

Die zweite Behauptung folgt vermöge д aus der entsprechenden

Aussage fur direkte Summen ([13], V, ^3, th 25) Der Beweis fur B^ wird analog gefuhrt П