Dedekind - Endlichkeit und Wohlordenbarkeit

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( 1 b) wird motiviert durch [16], wonach U in Mß nicht Lindelöf ist, [21] hat gezeigt, daß in Permutationsmodellen AA2 Räume denbar sind (vgl. 2d) und für (2 e) vgl. [27]. Als Anwendung kann man von Sätzen, die von AC abhängen und sich auf die obigen ten beziehen, zeigen, daß sie nicht zu AC äquivalent sind.

2 . 5 . Korollar: In ZF^ + D2 sind fiir einen metrischen Raum X äquivalent:

{ \ ) X ist separatel,

( 2 ) X ist AA2,

( 3 ) X ist Souslin,

( 4 ) X ist Lindelöf.

Beweis : (1) => (2) => (3) gilt in ZF^ wegen PW und 2.4. sind in ZF^ + />2 (1)9 (2) und (4) äquivalent, weil die Standardbeweise von [7] anwendbar sind. Für (3) => (1) genügt es zu bemerken, daß in ZF^ gilt:

Metrische Souslin-Räume sind hereditär Souslinsch.

Sei nämUch Y ein Teilraum von X und F # 0 У-offen. Zu jedem xeV gibt es r > 0 mit xeK(x,r)nY^ V, wobei K(x,r) = = {y : dist {x,y) < r}, und r (x, V) sei y des Supremum dieser r, falls es existiert und sonst 1. K(V):= [j {K{x,r(x,V)):xeU} ist X-offen und KiV)nK{W)=-0 für VnW=-0: Denn zu реК{У)пК{Щ gibt es xeV, yeW mit dist (p,x) < r (x, F), dist (p,y) <r(y,W) und o. B. d. A. r(x,V) ^r (y, W). Wegen der Dreiecksungleichung ist dist(x,>^) ^2r{y,W) und somit nach der Definition von r{y,W): xeK(y,2r(y, W)) nY я W, ein Widerspruch. Ist daher А eine offene Antikette in 7, so ist K'A eine solche in Z und А ist abzählbar, wobei K'A=={KiV):VeA}. D

Im nächsten Satz ergänzen wir 2.4.3.a, indem wir ein Kriterium für Souslin-Räume angeben, wohlordenbar zu sein, das schärfer ist als 2.5.3. Nach [2] gilt in M4 D3 + RT.

2 . 6 . Satz: In ZF^ + /^з + RT gilt: Ist X regulär, Lindelöf, Souslin und hereditär metakompakt, so ist X wohlordenbar.

Beweis : Sei X nicht wo. Wegen D^ gibt es eine unendliche, amorphe Teilmenge D von X. Wegen T2 sei D o. B. d. A. diskret (vgl. 2.4.3.a). Sei Z die Topologie auf X. Ci = {F6Z:|FnZ)| = 1}