Dedekind - Endlichkeit und Wohlordenbarkeit

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ist g (E) endlich, z sei eine Auswahlfunktion auf g {E), Dann ist zg(âf)GSuppx für alle xef{ä) und aGE\A{z), A{z) endlich.

Denn zu jedem aeE gibt es xef(a) mit einem иe suppxng (ä). Weil g (a) = orbtu{a} («) ist, gibt qs pefix {t u {a}) mit pu = zg{a), weswegen zg(a)GSUpp(px) und pxef(ä). Da F keine partielle Selektionsfunktion hat, muß h(a)= {xef(ä):zg(a)esupp{x)} für alle aeE, mit eventueller Ausnahme einer endlichen Menge A{z), h (ä) =f{ä) erfüllen, wegen h (a) Ф 0.

Da jedes g (à) unendlich ist, gibt es eine endliche FamiHe С von Auswahlfunktionen z auf g(£), für die für alle aeE

\ { zg ( a ) : zeC } \^n + l

ist . A=[j {A{z):zeC} ist endlich, und Шт a€E\A, einer unendU- chen Menge, und jedes x ef{ä) ist {zg{ä):zeC} с supp x, im spruch zu (ii). Folglich ist g{ä)^a (t) für asX,

Für peU\ А (t) setzen wir M{p) = {aeX:peg{ä)}. M(p) = 0 oder M(p) ist unendlich. Ist nämlich M(p) endlich, so ist M(p) я ^A{tu {/?}). Für аеМ(р) folgt daraus wegen g{ä)eA(tKj {a}) auch g{ä)EA(tu {/?}), woraus mit dem Mostowski-Lemma folgt : g{a)eA (r u ({a} n {p})). Wegen g{a)фA (t) muß p = а sein, wegen sich ergibt: peg{a)\A{t) impliziert p = a, ergo: g{ä)^ ^:(UnA(t))u{a} ist endlich, was schon als unrichtig erkannt wurde: M(p) = 0.

Ist M(p) für a\kpeU\A (t) leer, so folgt, daß g{ä)^A (r) n U endlich ist, was falsch ist, weswegen es ein /?g (7\zl (0 gibt, für das M(p) unendlich ist. Y:= M(p)\A{tu {p}) ist unendlich und in A{tu{p}l

Für alle aeY setzen wir h (a) = {xef{ä) :pe suppx}\ A (a) # 0 : Nach der Definition von Y und g gibt es xef(ä) und ue Gsuppx\zl {tu {a}) mit g{ä) = OTbt^{a}{u), peg{ä). Es gibt somit ^G fix (/ u {a}) mit qu= p, weswegen p g supp (qx) und qx ef(a) = ^4f{^)\ ie. qx€h{ä). Weil F keine partielle Selektionsfunktion hat, ist Z^{aeY:h{ä)=f{ä)} cofinit in Г und Y\Z ^ ^ Fnzl (ru {/?}) = 0; ergo: pGSuppx für alle xef{ä), as Y.

( iv ) Conclusio : Wendet man (iii) « + 1 mal an, mit Zneu = = ^•> ^neu = / u {/?}, so erhält man n + 1 Punkte/7^, i g « + 1, und eine unendliche Menge Y ^W mit {po,..,/?«} ^ supp x für x G/(a), aeY: Das ist ein Widerspruch zu (ii). Es muß somit eine partielle Selektionsfunktion von F geben. П