A . Kriegl

2 . Teil. Hier wird die Bomologifîzierung behandelt und gezeigt, daß sie die feinste lokalkonvexe Topologie mit den gleichen zierbaren Kurven ist. Es wird für Uneare Abbildungen eine ganze Reihe zur Beschränktheit äquivalenter Eigenschaften angegeben. Wobei „differenzierbare Kurven in sich überzuführen" die ste ist, da sich damit ein sinnvoller Differenzierbarkeitsbegriff definieren läßt.

Die entsprechende Kategorie der bomologischen Räume hat bekanntlich gute Eigenschaften. Sie ist monocoreflexiv und somit abgeschlossen unter CoUmiten. Aber es existiert auch ein dukt, welches sie zu einer symmetrisch monoidal abgeschlossenen Kategorie macht. Und (bei geeigneter Mengenlehre) ist sie auch unter Produkten abgeschlossen.

Im 3.Teil wird schließlich der der Integrierbarkeit angepaßte Begriff der с "^-Vollständigkeit behandelt. Die entsprechenden me sind durch jede der folgenden Eigenschaften charakterisiert:

1 . Sie sind in der с "^-Topologie abgeschlossen in jedem den Raum.

2 . Jede differenzierbare Kurve ist Riemann-integrierbar (resp. besitzt eine Stammfunktion).

3 . Jede Kurve, die mit Funktionalen zusammengesetzt zierbar ist, ist selbst differenzierbar.

Die entsprechende Kategorie ist epireflexiv und somit unter Limiten abgeschlossen, aber auch unter Summen, strikten induktiven Limiten und Funktionenräumen.

Somit ist also die Kategorie der с ^-vollständigen bomologischen Räume die richtige für Analysis. Sie ist unter Produkten, Summen und strikten induktiven Limiten abgeschlossen. Sie besitzt produkte und einen internen Homfunktor, mit welchem sie metrisch monoidal abgeschlossen ist. Sie ist nicht zu klein — sie umfaßt die LF-Räume — und nicht zu groß — sie wird von den ultra- bomologischen und somit von den tonneHerten Räumen umfaßt.

Differenzierbar im obigen Text soll C°° bedeuten. Aber der Arbeit kann man entnehmen, wie es jeweils auch anders interpretiert (z. B. Lipschitz) werden kann und die Aussagen trotzdem richtig bleiben.

Viele der angegebenen Äquivalenzen und Eigenschaften sind schon bekannt (siehe [4], [5] und [8]), aber die Zusammenhänge mit dem Differenzieren und Integrieren sind neu.