MoncdshdÜie für Mh. Math. 94, 267—280 (1982) МдЦшДИМ^Ш«:

Die Anzahl der primitiven Polytope im IR^ mit 2 rf - 2 Facetten

Von

G . und R. Blind, Stuttgart

( Eingegangen am 14. Oktober 1981, in modifizierter Fassung am 4. März 1982)

Abstract . The Number of Primitive Polytopes in IR*^ with ld-1 Facets. Let P cU^

be a (i-polytope and let N{P) be the set of outward normal vectors to its facets. P is said to be primitive if it has the property that there exists no polytope Q with ^(0 Ф ^(P)' In other words, removal of any facet of P leaves an unbounded hedral set. The primitive polytopes with d+ 1 facets and with 2 ßf facets are well known (they are the simplices and the parallelotopes), the primitive polytopes with ^-f 2 and 2d- I facets have also been classified. The present paper deals with primitive polytopes with 2d-2 facets.

1 . Zu einer polyedrischen Menge P des R'^ seiiV (P) die Menge der äußeren Normalen ihrer Facetten (Seiten der Dimension d — 1). Ein konvexes ^-Polytop P heißt primitiv, wenn es kein konvexes d- Polytop Q mit N{Q) ^ N{P) gibt, d. h. : Wenn P von r Halbräumen begrenzt wird, die jeweils eine Facette von P enthalten, so begrenzen beUebige r — 1 Halbräume davon kein Polytop, sondern eine schränkte polyedrische Menge. Die Primitivheit eines Polytops ist also eine affine Eigenschaft.

Die primitiven Polytope des IR^ wurden zuerst in [6] aufgezählt, ein kürzerer Beweis dafür findet sich in [2]. Eine allgemeine risierung der primitiven Polytope mittels des Durchschnitts von Translaten steht in [3].

Bekann tUch (vgl. [5]) hat ein primitives Polytop mindestens d+ l Facetten und ist ein Simplex und höchstens 2 d Facetten und ist dann ein Parallelotop. In [1] werden die primitiven Polytope mit t/ + 2 und die mit 2 ö? - 1 Facetten vollständig aufgezählt, unter Beachtung der affinen Struktur der Primitivheit; speziell gibt es zu jedem Polytop mit d+2 Facetten ein dazu kombinatorisch äquivalentes primitives Polytop, und die primitiven Polytope mit 2d- l Facetten zerfallen in d— l kombinatorische Typen.

Die Verhältnisse bei primitiven Polytopen mit 2 rf - 2 Facetten sind erhebüch unübersichtlicher. Sie zerfallen schon in wesentlich

19 Monatshefte fur Mathematik, Bd 94/4

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