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§2 . Eigenschaften der Freudenthal-Invarianten

in diesem Paragraphen sollen die Beweise für Formeln gegeben werden, die den in der Einleitung zitierten sprechen. Dabei wird gezeigt, daß die Differenz F^» ([b]) - F^'([l^) unter gewissen Voraussetzungen i.w. eine zweifache Suspension ist. Dazu benötigt man das folgende

Lemma 2.1. Die kanonische Abbildung

y : AbB —V АЬВ/АЬ»ну«1гВ = A^B ist eine Homotopieäquivalenz.

Beweis . Nach Milnor, [8], ist die 5-ade (X;X^,...,X. ) = = (St(I,AxB);St((I, [0} ),(AxB,i*x»)),St((I, {1} ),(AxB,AvB), St(I,Ax*),St(I,^xB)) homotopieäquivalent zu einer CW-5-ade, (K;K-,...,K,) z.B. Dann ist aber auch das Paar (XnX-nXpfX-nX. V X-nXc) = (Ai^B;Ab*iV**i?B) homotopieäquivalent zu dem CW-Paar (КлК^пК2,К^аК. v К^лК^) = (L,L»). Mit g: (AlrB,Ab*v*(bB) —> (L,L») als Homotopieäquivalenz hat man das kommutative Diagramm

AbB —^ L

кЬв -^-> L/L«

Dabei ist g eine Homotopieäquivalenz; tp'ebenfalls, da Ab**V)*bB zusammenziehbar ist und daher auch L* und (L,L' ) ein CW-Paar ist. Also ist auch tp eine Homotopieäquivalenz.

Um für ein h € NS(SX,Y) die Differenz F^ (JH|) - РДфЗ) zu beschreiben, betrachte man

2 . 2 . D: SS(YbY) —^ SY^SY

gegeben durch

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