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KAUL

BEMERKUNGEN ;

i ) Für LEMMA 3i) reicht es, wenn in der Definition von к

sup К auf V.-'B^oCq) genommen wird, siehe [4;BEMERKUNG zu

T qeA ^^ 4. SATZ]. ^

ii ) Die Schnittortbedingiang in LEMMA 3i) ist im allgemeinen auch schwer verifizierbar. In LEMMA 3ii) wird sie niert, allerdings unter einschränkenden Voraussetzungen an M.

iii ) Ist M einfach zusammenhängend und К <^o, so ist nach dem Satz von HADAMARD-CARTAN [l;7.2.SATZ] die Exponential- abbildung injektiv, somit С (q) =0 für jedes q€M. In diesem Fall ist also WCAj^^M.

iv ) Für die Sphäre S^ mit Radius R^ ist die Behauptung von LEMMA 3i) für R<ïïRq/2 richtig, wie man sofort nachprüft.

Beweis ; i) Nach [4;4.SATZ] ist В (q) für jedes q€A , r< R

konvex . Damit ist auch B„(q) konvex, es gilt somit R<^R(q),

d . h . Bj^(q)CW(q). Mit Bp (q^) С Bj^ (q) für alle q€A folgt

dann B^(q^)C /^W(q)«W(A). ^ ° q€A

ii ) Unter den angegebenen Voraussetzungen besagt ein Satz von KLINGENBERG [4;2.1 SATZ u.nachf.Bem.(i)(iv)] •FT//ic^ <^d(q,C(q) ) für jedes q€M, so daß im Fall 2R < ir/Zic^ , q € A für alle q'€ Bj^(q) Bj^(q)OC (q') = 0 gilt, also Bj^(q)^C(Bj^(q) ) =0. LEMMA 3i) kann somit angewandt werden.

4 . Der Einschließungssatz

Sei f;G—►M eine von Г berandete H-Fläche oder h-Flache. Wir setzen dabei voraus, daß die Schnittkrümmung К von M nach oben beschränkt ist. Wir verwenden wieder die im 2.und 3.Abschnitt eingeführten Bezeichnungen С (q) ,к ,Т1/У #r ,

à^ ( % ) ^à^iqo^^^^- Dle Verallgemeinerung des Satzes von HEINZ und BRANDT lautet nun:

SATZ 1; q r q^ € M seien durch genau eine Kürzeste

с : [ о , l ] —► M verbindbar, T sei die Spur von с, es gelte f (G)rNC(T) =0 und q^/qi^^ W(r) . Wenn

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