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HOSCHEK

gleichzeitig Krümmungslinie der betrachteten Regelfläche ist. Nach [9] , [12] , gelten dann die Nebenbedingungen

btsinG' + Tcos6^ = 0 oder ^-^ST r 0 . (9)

Die durch (9) gekennzeichneten Regelflächen stehen in enger Beziehung zu den ebenen Kurven: Für 5=0 wird die Striktionslinie zur Gratlinie einer Tangentenfläche, die Invarianten >c bzw. x sind dann dem Wert nach gleich zur Krümmung bzw. Torsion der Grat linie. Aus (9) folgt aber wegen ^>0 und - С<я?'< -j , daß gilt t = 0 genau dann, wenn 6" = 0, d. h. mit unseren Voraussetzungen wird die Gratlinie zu einer ebenen konvexen Kurve.

Für geschlossene konvexe Regelflächen, deren Strik- tionslinie Krümmungslinie ist, gilt folgender satz

Satz 1, Ist d-Ce Stri-ktionel-Cnie егпег orientierbaren

geeohtoesenen konvexen winde chiefen Regelfläche der Klaaee

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С Krümmungslinie, ao hat die ganze natürliche Krümmung к

mindestens vier Extremwerte*

Für den Beweis verwenden wir das Beweisverfahren von HERGLOTZ : Hat eine Funktion f(u) auf einer konvexen Kurve ^ in den Punkten P. und P^ Extremwerte, so wird nach HERGLOTZ durch P. und P^ eine Ebene i mit dem (konstanten) Normalenvektor -C so gelegt, daß die Kurve 'iT die Ebene t nicht mehr in weiteren Punkten schneidet. Gilt dann noch

( •r -T) f • du = 0 ,

so hat f zwischen P^ und P^ mindestens je einen weiteren Extrremwert, also insgesamt mindestens vier Extremwerte oder Scheitel.

Wird dieses Verfahren auf Satz 1 angewandt, so ist zu zeigen, daß gilt

Ф (< • T) к • du = 0 .

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