EBERHARDT

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besitzt zwar die stetige Norm II. IL > trägt aber nicht die feinste l.k. Topologie - z.B. existieren auf dem Teilraum L aller finiten Vektoren unstetige Linearformen:

L« s и { K'^X1^(I\J) I jci abz., J: + i = 1 ) ^ Ж^ s L^^.

5° Die Tonneliertheit von F folgt schliesslich aus den Sätzen V.2.2. (S . 34 ) und ¥.2.1. (S . 2б ) von [15]:

t ist nämlich die assoziierte l.k. Topologie zur Vektorgruppentopologie \д^ auf 1 (l) , г^^obei SU die Menge aller Teilräume l^(l\j) , Jсi abzählbar, von l^(l) ist.

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Der Vollständigkeit halber sei noch vermerkt, dass uns kein Beispiel eines nicht-distinguierten GN-Raums bekannt ist. (QN-Räume sind i.a. nicht distinguiert, vgl. 2.2.a).)

- Kp . BEMERKUNGEN Zmi TEIISORPRQDUKT. VJenden wir uns zum Schluss dem Tensorprodukt von GN- bzv/. QN-Räumen zu.

a ) Das indiiktive^Tensorgrodukt E ®. F macht keine Schwierigkeiten, denn seine Topologie ist die l.k. Final- topologie bzgl. der kanononischen partiellen Abbildungen E->E<S)F , F-^E<S)F . L.k. Finaltopologien von GN- bzw. QN-Räumen geben aber GN- bzw. QN-Räume (1.2.b) und 2.7»c)).

b ) Beim 2E2ie?S^iY22-.?eQ§2^E£2^ylS5 -^ ^тт -^ weiss man nach [5; erstes Theorem] und 3.5.b), dass sich die tenbedingung für nukleare QN-Räume vererbt (die Separiert- heit der Faktoren ist unv^esentlich).

Für beliebige QN-Räume gilt dies nicht. Ein Beispiel ist H := Ф (8) Фдг^ I Der Raum H besitzt zv/ar eine stetige Norm, da Jeder Faktor eine solche hat; er trägt aber nicht die feinste l.k. Topologie, da es eine unstetige form auf ihm gibt [11 IL .^. exercise 9 b ].

Die Klasse aller QN-Räume ist also keine "stability class" im Sinne von [5].

c ) Für GN-Rä\ime zeigt das letzte Beispiel, dass das projektive Tensorprodukt zweier GN-Räume i.a. kein GN-Raum (sogar kein QN-Raum) ist«

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