SPALLEK

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1 . 9 - 1.14 sind С - invariant formuliert und gelten daher für abstrakte lokalkompakte reduzierte N- differenzierbare Räume X . In dieser Form wenden wir 1.14 an. Wir benötigen dazu unter den möglichen Regularitäts- forderungen ([1]) für Abbildungen die folgende Form:

1 . 15 Definition, d) Ein Morphismus f : X -^ Y N- differenzierbarer Räume heiße tAlvÂ^at in p ^ X, wenn es Umgebungen U(p) с x,

U^ ( p ) с f~\f{^)), U^(f(p)) с Y mit einem C^ - Diffeomorphismus

Ф : и ^ U^ X u^ gibt, so daß f \ U der Projektion ^ ^ U^ x U^ ^ U^ entspricht;

f I и = TT о ф. Ein in jedem Punkt trivialer Morphismus heiße Vo^f^onmcution

( im Sinne von [ 4 ] ) .

^ Y heiße лЫсЫоллг zu6ammQ.nhängQ-nd, wenn sich je zwei Punkte in Y

durch einen stückweise С - differenzierbaren Weg verbinden lassen.

1 . 16 Satz. Der Morphismus f : X -* Y sei eigentlich und eine Deformation,

N

^ sei stückweise zusammenhängend, sei N > «>. Für ein p e X sei der Raum (f~^ (f (p))°° integrabel. Dann sind sämtliche Fasern f (y) ,y e Y, C°° - diffeo- morph zu f ^(f(p)).

Beweis . 1. Fall. Y ist eine С -Mannigfaltigkeit. Man kann ein in der Nähe eines Punktes у e Y auf Y°° gegebenes C°° - Feld v zu einem Feld v* in einer Umgebung von f (y) auf X°° so liften, daß dort df(q)(v*(q)) Ev(f(q)) gilt (Partition der 1, vgl. [ 3] , p. 2o). v* ist nach 1.14 lokal bel. Die gemeinsame Integration geeignet vieler solcher Felder liefert für geeignete Umgebungen f (y) с Vcx, у g V^ с Y einen С - Diffeomor- phismus ф : V -^ f~4y) ^ V^, so daß für die Projektion тт : f (у) ^ V^ -^ V^ gilt: f I V = TT о Ф (vgl. [3] , p. 2o). Daraus folgt 1.16 für diesen Fall. 2. Fall, Y ist das Bild einer C°° - Mannigfaltigkeit Y unter einer С - Abbildung T. Vermöge т lifte man die Deformation f zu einer Deformation f* : X*°° -^ Y*** (vermöge des auch bei Räumen definierten Faserproduktes). Da f* dieselben Fasern wie f hat, folgt dieser Fall aus dem ersten Fall. Der Allgemeinfall ergibt sich hieraus sofort. q.e.d.

In [ 3 ] , 4.1 sind X^,Y^ Mannigfaltigkeiten. In [ 4] , 3.1 darf bereits Y^ Singularitäten haben; der Beweis wird dort über eine Retraktion X°° -> f~4y) geführt. Eine solche Retraktion existiert aber im allgemeinen nur für Mannigfaltigkeiten X°°. Die Allgemeinheit von 1.16 wird allerdings erst klar, wenn hinreichend allgemeine Räume X integrabel sind. Dies zei-

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