LEICHTWEISS

Um weiter p., durch eine positive und stetige Radialfunktion beliebig genau

approximieren zu können,nutzen wir die Regularität des Summenmaßes Or^ + a

( vgl . Fußn. ^ !) aus.Hiemach gibt es eine Folge (O^^^ u| von offenen sowie eine

Folge {C^ JngjN vo^ kompakten und damit auch abgeschlossenen Untermengen von ЭВ mit den Monotonieeigenschaften

( 52 ) С«сС<|1сА.сО(|)со(^)

( |i = 1,2,3,...) und der "inneren" sowie der "äußeren" Regularität

( 53 ) sup(0^ + cXC^'h = (O^ + a)(A.) = inf(0^ + ö)(0^p)

( i = l,...,k), da die in (49) auftretenden Untermengen A. von ЭВ Borelsch meßbar

17 )

smd ^ Jetzt existieren wegen der Normalität des metrischen Raums ЭВ nach dem Lemma von Urysohn auf ЭВ definierte stetige Funktionen ф^^vür die

( 54 ) 0^ф^»)<1 .Ф^^\ =1 ,Ф^^^ I ^ =0

M - Ц

gilt (|i = 1,2,3,... ; i = l,...,k) .Wegen (52) und (54) besitzen diese Funktionen die

Konvergenzeigenschaften

( 55 ) 1 im (p^\i,) = I = Xa (^) ,falls ^ € и C^^ q A. und

( 56 ) 1 im Jpii,) = 0 = %д (^) ,falls ^ e ЭВ\ n oj^^ ç ЭВ \ A.

|I - >oo ^ ^i ^=1 ^

( i = l,...,k).Da weiter nach (53)

( n oJ^b\( 3 c^h]=o

ц=1 ^ |i=l ^ J (i = l,...,k) ist,stellen wir aufgrund von (49),(55),(56) und (57) fest,daß die

( 57 ) (Oj^ + a)

mit

Funktionsfolge {фц}не(н ^^

( 58 ) Фц:=.|а.ф^^^

( Oj^ + o)-fast überall gegen die Treppenfunktion p^ konvergiert.Die Funktionen

Ф dieser Folge sind sämtiich auf ЭВ stetig;außerdem können wir wegen der aus (49),

^^^ Siehe [1] Definition 41.1.

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