PAUER

em Algebremsomorphismus,

Beweis : Der Algebrenhomomorphismus ф : к[Х] —у Ц^^] î / '—^ /кх ist surjektiv und Б-äquivariant. Für / G Щ[Х] ^ и Ç: U und t Ç: В C\ Ng{U) ist

t . fe Щх] und (туфЦ) = t4{f) = Ф{t.f).

Also ist die Algebra (;^(^А:[Х] ) ^-stabil, daher ist Ф(ЩХ]) = В.ф{Ч[Х]) = ф(ВУк[Х] ) . Weil k[X] von вУк[Х] erzeugt wird, folgt daraus ф(Щх] ) = fe[^A'] . Da U. ^X in X dicht liegt, ist die Einschränkung von ф auf ^^[-X^] auch mjektiv. О

FOLGERUNG (vgl. [2]): G^N ist abgeschlossen m N und normal

Beweis : ^N ist Б-stabil, also ist G^N abgeschlossen ([15], 2.13, Lemma 2). Daher ist G.^N affin. Da ^(G.^A^) = ^N normal ist, folgt die Behauptung mit [4], III.3.3, Satz 2, aus dem Hilfssatz. О

1 . 5 . Beweis des Satzes: Nach 1.2 ist P parabolisch.

Es seien n ein Urbild von z unter der kanonischen Abbildung 7Г : N — {0} —у P(-^) ^ Рш ' N —^ ^uj die G-äquivariante Projektion von N auf N^^ und N(n) die offene, G-stabile Teilmenge N — (Uwmitp^(n)9^o ^^''^{Ри>)) von N . Dann ist die Abbildung

G•p (Р.7г(^АГ(п))) —> G.nfN{n)) , s^x^-^s.x

ein G-Isomorphismus. (Denn: Die Abbildung ist G-äquivariant und surjektiv. Mit Hilfssatz 1.2 piüft man leicht nach, daß sie auch injektiv ist. Als offene Teilmenge der nach 1.4 normalen Varietät G.7r{^N — {0}) ist G.7r(^N(n)) normal, nach Zariski's Hauptsatz ist die Abbildung daher ein Isomorphismus). Also ist auch

G •p (P.7r(^iV(n)) nX) —^ G.(7r(^iV(n)) П X) , sirx^—^s,x

ein G-Isomorphismus. Nach 1.2 ist z ein Fixpunkt der Kommutatoruntergruppe von P/Radu{P) . Nach 1.3 besitzt z in P.7r(^iV(n)) П X eine offene affine P- stabile Umgebung Y . Dann ist G^pY offen in X und die Behauptung folgt mit X' := G.Y . О

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