STAMATAKIS 5

u€ ( / linear abhängig sind.

In Zusammenhang mit diesem Satz erweitern wir den Begriff der W-Kongru- enzen wie folgt:

( 2 )

gruenz , wenn die Dimension d des 2. Schmiegraumes kleiner oder gleich

Definition 3.1. Eine Geradenkongruenz heißt eine verallgemeinerte Vf-Kon-

gruenZ :

4 ist.

Als unmittelbare Folgerung erhalten wir nach Satz 2.3 den

Satz 3.1. Jede lineare Geradenkongruenz ist eine verallgemeinerte У-

( 2 )

Kongruenz mit d s3.

Ferner gilt der

Satz 3.2. Jede parabolische Geradenkongruenz ist eine verallgemeinerte

У - Kongruenz .

Beweis . Da а parabolisch ist, wird die Sanniasche Grundform Ф ein volles

Quadrat und die Differentialgleichung Ф=0 der Torsallinien bestimmt nur

eine Kurvenschar in U. Wir führen solche Parameter ein, daß die Kurven

p dieser Schar die u -Kurven des Parametersystems sind. Dann haben wir

( 3 . 1 ) а *0, а =a =0 V(u\u^)€U.

11 ' 12 22

Es sei ô:=sp(a,a )€G , wobei G die Geradenmenge des P bezeichnet. Ô ist nach (1.3), (1.4), (1.6) und (3.1) eine Erzeugende von Q . Außerdem

ist der Polarraum ô ={߀PV<ß,a>=<ß,a >=0> von ô bezüglich Q* dreidi-

1 ♦

mensional [6]. Wegen (1.6), (3.1) und <a ,a. >=-=-a gilt a €Ô ,

22^^

1=1 , 2 , und das gleiche gilt für die Punkte a,a. ,a . Wenn wir den pro-

^^ ^^ (2)

Jektiven Unterraum N:=sp(ô ,a ) betrachten, so ist DimN:s4 und J(u)cN,

also d ^4. о

3 . 2 . Ziel der nachfolgenden Paragraphen ist es, alle verallgemeinerten W-Kongruenzen zu bestimmen, deren eine oder beide Fokalflächen entarten,

( 2 )

und sie nach der Dimension d des 2. Schmieg räume s einzuteilen. Als Beispiel erwähnen wir die hyperbolischen linearen Geradenkongruenzen:

( 2 )

Bei diesen ist nach Satz 3. 1 d 2S3 und ihre Fokalflächen entarten be-

3

kanntlich in zwei windschiefe Geraden des P .

Wegen (2.2) und (2.4) ist für Jede verallgemeinerte W-Kongruenz =2,3 oder 4. ten wir mit dem

( 2 ) (2)

d =2,3 oder 4. Alle verallgemeinerten W-Kongruenzen mit d =2 erhal-