§ 4. Abzählbare Mengen.

4 . Wieviele verschiedene Teilmengen besitzt eine endliche Menge M mit m Elementen und inwiefern läßt gerade die Antwort hierauf es als zweckmäßig erscheinen, auch M selbst und die Nullmenge als mengen von M aufzufassen ?

5 . Warum ist es für den Beweis (S. 25) der Nichtäquivalenz zwischen einer endlichen und einer unendlichen Menge (gemäß Definition 3) quemer, von einer unendlichen Menge auszugehen als von einer lichen ?

6 . Man führe den oben (S. 26) angegebenen Beweis, daß eine im naiven Sinn unendliche Menge M auch nach Definition 3 unendlich ist, für folgende Mengen und folgende Methoden des Herausgreifens von Elementen Wj, Wg usw.:

a ) M == Menge aller natürlichen Zahlen; herauszugreifen ist stets eine möglichst kleine durch 5 teilbare Zahl.

b ) M = Menge aller positiven gemeinen Brüche in „gekürzter" Form; herauszugreifen ist stets eine Zahl mit möglichst kleiner, aber schrittweise wachsender Summe von Zähler und Nenner, und zwar im Zweifelsfall eine möglichst große Zahl von dieser Summe.

§ 4. Abzählbare Mengen.

Wir wollen uns jetzt zunächst mit den in bestimmtem Sinne fachsten unendlichen Mengen, den sogenannten abzählbaren Mengen, beschäftigen und verschiedene Beispiele solcher abzählbarer Mengen .betrachten, die uns schon eine Fülle überraschender Tatsachen liefern werden.

I . Definition der abzahlbaren Menge. Wir gehen aus von einer besonders naheliegenden unendlichen Menge, von der schon im spiel 4 des § 2 betrachteten Menge aller natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... ; diese Menge bezeichnen wir für den Augenblick mit M. N sei eine ihr äquivalente Menge und Ф eine Abbildung zwischen M und AT. Dann können wir das durch diese Abbildung dem Element 1 voh M zugeordnete Element der Menge N mit n^ bezeichnen, das dem ment 2 entsprechende Element von N ebenso mit Wg, das zu 3 geordnete mit Hq usw., indem wir zur Bezeichnung eines jeden Elementes von M die betreffende natürliche Zahl als ,,Index'' wenden. ^ Hiernach läßt sich die Menge N schreiben in der Form: N = {n^, Wg' ^3' • • •}» wiit anderen Worten: wir haben die Elemente von N abgezählt, so daß sich ein erstes, zweites, drittes, . . . Element voq N angeben läßt. Umgekehrt wird jedes beliebige Element n von N an einer bestimmten, etyva der Ä^en Stelle, wobei k eine natürliche Zahl bedeutet, in der abgezählten Menge iV vorkommen; denn durch die Abbildung Ф wird n irgendeiner bestimmten natürlichen Zahl k von M zugeordnet und dies soll ja eben besagen, daß n die