Grundlagen . Begriff der Kardinalzahl.

Ä * e Zahl unserer Abzahlung ist. Demnach läßt sich jede Menge N, die der Menge aller natürlichen Zahlen äquivalent ist, in Form einer abgezählten Menge {a^, ag, a^, . . .} darstellen. Doch muß N nicht von vornherein als abgezählte, d. h. durch die angeführte Ordnung der Elemente ausgezeichnete Menge gegeben sein. In N braucht ja zunächst überhaupt nicht eine bestimmte Reihenfolge der Elemente ben zu sein; auch zutreffendenfalls braucht die Reihenfolge nicht von Anfang an die obige zu sein, wie bald durch Beispiele gezeigt wird. Aber die Möglichkeit der Abzahlung der Elemente folgt aus der valenz mit M und deshalb wird jede zur Menge der natürlichen Zahlen äquivalente Menge eine abzählbare Menge genannt. Manchmal ist es bequem, den Ausdruck statt für die Menge vielmehr für ihre mente zu verwenden, also zu sagen, es lägen abzählbar unendlich- viele Elemente vor. Eine abzählbare Menge ist also stets unendlich^, und eine zu einer abzählbaren Menge äquivalente Menge stets wiederum abzählbar.

2 . Einfachste Beispiele und Sätze. Betrachten wir zunächst einige Beispiele von abzählbaren Mengen! Wie wir oben (S. 23) sahen, ist gleich der Menge {1, 2, 3, 4, . . .} auch die Menge {2, 3, 4, 5, . . .} bar. Das Gleiche gilt offenbar für jede Menge N, die aus der Menge der natürlichen Zahlen durch Weglassung endlichvieler natürlicher Zahlen entsteht; denn ordnen wir die (immer noch unendlichvielen) übriggebliebenen Zahlen wieder ebenso wie vorher (nämlich nach ihrer Größe), so haben wir damit schon eine erste, eine zweite, eine dritte Zahl usw. der Menge N definiert und so jeder Zahl von N eine bestimmte Platznummer zugeordnet, d. h. wir haben durch jene Ordnung die Menge N bereits abgezählt. Wir können aber das gleiche Verfahren auch einschlagen, falls N aus der Menge der natürlichen Zahlen durch Weglassung unendlichvieler Zahlen entstanden ist, solange nur N selbst noch unendlichviele Zahlen enthält. Ist z. B. N die Menge aller tiven geraden Zahlen, so läßt sich N auf die Menge aller natürlichen Zahlen n in folgender Weise umkehrbar eindeutig abbilden: 2 4 6 8 10 12...2n...

Î Î I Î Î X \

1 2 3 4 5 6...W...,

d . h. 2 wird die erste, 4 die zweite Zahl von N usw. Es ist also zunächst jede unendliche Teilmenge der Menge aller natürlichen Zahlen abzählbar. Bei diesem Beweis haben wir lediglich die Abzählbarkeit der Menge der natürlichen Zahlen Ъenutzt, nicht etwa eine weitere Eigenschaft, die in der Natur der Elemente (nämlich der Zahlen) begründet wäre.

1 Zuweilen werden auch die endlichen Mengen als abzählbar bezeichnet und es wird dann im Gegensatz zu ihnen von „abzählbar unendlichen" Mengen sprochen. Wir bleiben der Kurze halber bei der obigen Ausdrucksweise.