§ 4. Abzählbare Mengen.

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Dpi nämliche Beweis läßt sich daher für eine beliebige abzählbare Menge durchführen, aus der endlich- oder unendlichviele Elemente fortgelassen werden, und wir erhalten so das allgemeine Ergebnis:

Satz 1. Jede unendliche Teilmenge einer abzählbaren Menge ist wieder - um (abzahlbar.

Gewissermaßen durch eine Umkehrung des obigen Verfahrens läßt sich andererseits zeigen, daß auch z. B. die Menge aller positiven und negativen ganzen Zahlen, also eine umfassendere Menge als die der lichen Zahlen, abzählbar ist. Ordnen wir diese Menge wie üblich der Größe nach und zwar unter Berücksichtigung des Vorzeichens, so daß die negativen Zahlen vor den positiven zu stehen kommen, so ist die Menge zunächst nicht abgezählt; denn es läßt sich z. B. die Zahl 1 nicht durch eine Platznummer als die soundsovielte unserer Menge zeichnen, da ihr ja unendlichviele Zahlen (nämlich alle negativen) ausgehen. Dennoch kann man unsere Menge mittels eines einfachen Kunstgriffes abzählen. Wir wollen nämlich als erstes Element die Zahl 1, als zweites die Zahl 1, als drittes 2, als viertes —2, als fünftes 3, als sechstes 3 usw. nehmen ; die Abzahlung, d. h. die Zuordnung zur Menge der natürlichen Zahlen, wird dann folgende:

1 - 12 - 23 - 34 - 4 . . .

t tf tf tt t ^ ^^ y^- yr y

1 23 45 67 8...

In der so abgezählten Menge kommt auch wirklich jedes Element der Menge, d. h. jede positive oder negative ganze Zahl, an bestimmter Stelle vor ; ist nämlich m irgendeine positive ganze Zahl, so ist m bar die (2 m l)*e, —m dagegen die (2 w)*^ Zahl unserer Abzahlung. Die ursprünglich keineswegs abgezählte Menge ist hiermit abgezählt den und damit als abzählbar nachgewiesen.

Die Hinzufügung der Zahl 0 ändert ersichtlich nichts an der Abzähl- barkeit unserer Menge, wie überhaupt die Eigenschaft einer Menge, abzählbar zu sein, durch Hinzufügung endlichvieler Elemente zu ihren ursprünglichen Elementen nicht verändert wird; denn man kann ja die endlichvielen neuen Elemente in der Abzahlung an den Anfang stellen und bewirkt dadurch nur, daß jedes der ursprünglichen mente in der neuen Abzahlung eine um eine feste Zahl erhöhte nummer erhält. Ja noch mehr! Wenn wir bedenken, daß sowohl die Menge der positiven wie auch die der negativen ganzen Zahlen jeweils abzählbar ist, und wenn wir ferner berücksichtigen, daß auch im vorigen Absatz (vgl. S. 28 unten) kein Gebrauch von den besonderen Eigenschaften der Zahlen (d. h. der Elemente der betrachteten Mengen) gemacht worden ist, so können wir dem vorigen Absatz folgende auf den ersten Blick merkwürdige Tatsache entnehmen: auch bei fügung unendlichvieler Elemente zu den Elementen einer abzählbaren