30 Grundlagen. Begriff der Kardinalzahl.

Menge M kann diese unter Umständen noch abzählbar bleiben ; dann nämlich, wenn die hinzugefügten Elemente ihrerseits die Elemente einer abzählbaren Menge N darstellen. (Im vorigen Absatz war M etwa die Menge der positiven, N die der negativen ganzen Zahlen.) In die vergrößerte Menge können nun wiederum die Elemente einer ab?:ähl- baren Menge aufgenommen werden, ohne daß der Charakter der Ab- zählbarkeit beeinträchtigt würde, und dieser Vermehrungsprozeß läßt sich beliebig fortsetzen (d. h. k-mol, wo k eine beliebige, wenn auch noch so große natürliche Zahl bedeutet) ^. Wir erhalten somit das Resultat, das gegenüber dem von der Verminderung einer abzählbaren Menge handelnden Satz 1 auch für ihre Vermehrung eine entsprechende Tatsache feststellt:

Satz 2. Werden zu den Elementen einer abzählbaren Menge weitere endlichviele oder abzählbar unendlichviele Elemente hinzugefügt, so steht wiederum eine abzählbare Menge. Ebenso ergibt sich durch einigung der Elemente endlichvieler Mengen, von denen jede endlich oder abzählbar, und zwar mindestens eine abzählbar ist, stets eine abzählbare Menge.

3 . Die Menge der rationalen Zahlen. Wir wollen jetzt ein von den bisher behandelten Mengen wesentlich verschiedenes Beispiel einer abzählbaren Menge betrachten. Bekanntlich liegen zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen (z. B. zwischen den Zahlen 1 und 2) unendlichviele gemeine Brüche oder, wie man dafür zu sagen pflegt, rationale Zahlen; wir schreiben eine rationale Zahl in der

„ gekürzten * ' Form — ' wobei wir unter n stets eine natürüche (also

positive ganze) Zahl und unter m eine zu n teilerfremde positive oder negative ganze Zahl verstehen wollen 2. (Weisen m und n zunächst einen gemeinsamen Teiler auf, wie z. B. in den Brüchen I oder — ^, so kann man diesen Mangel durch „Kürzen", d. h. Wegdividieren des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner beseitigen; so wird man 2 oder ausgeschrieben f für |, =1 oder in üblicherer Schreibweise —^ für =^ einsetzen.) Wie man sich leicht überzeugt, liegen sogar zwischen irgend zwei denen rationalen Zahlen, mögen diese sich auch noch so wenig von- " einander unterscheiden, immer noch tinendlichviele verschiedene

andere rationale Zahlen. Denn mag die Differenz zwischen — und —^

^ Vgl. hierzu die Fußnote von S. 7.

m 0

* Ist im besonderen w = 1, so stellt y die ganze Zahl m dar; auch 0 = y

wird als rationale Zahl betrachtet. — Teilerfremd nennt man zwei ganze Zahlen m und n, wenn es außer 1 keine natürliche Zahl t („gemeinsamen Teiler") gibt, die in beiden Zahlen m und n gleichzeitig enthalten wäre.