§ 4. Abzählbare Mengen.

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jeder Menge, die unendlichviele Elemente enthält und deren Elemente ausschließlich rationale Zahlen sind. Daher ist auch jede Menge von unendlichvielen rationalen Punkten der Zahlengeraden abzählbar, z. B. die Menge aller zwischen den Punkten 0 und 1 gelegenen nalen Punkte.

Der Leser, der während der bisherigen Überlegungen sich etwas Übung angeeignet hat, wird nun auch die Abzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen in allgemeinem Sinn zu deuten wissen. Abb. 3 (S. 31, vgl. die dortige Erklärung) läßt sich ja auffassen als eine sammenstellung abzählbar unendlichvieler abzählbarer Mengen, z. B. aller der Mengen, die jeweils die Gitterpunkte der nämlichen Zeile enthalten. Bedenkt man wieder wie auf S. 28, daß bei der trachtung die besonderen Eigenschaften der rationalen Zahlen nicht benutzt worden sind, so ergibt sich (in Erweiterung des Satzes 2) der Satz:

Satz 3. Durch Vereinigung der Elemente abzählbar unendlichvieler Mengen, von denen jede abzählbar ist, entsteht wiederum eine abzählbare Menge,

Der aufmerksame Leser wird nun vielleicht schon an dieser Stelle etwas gelangweilt oder mindestens enttäuscht sich fragen: Ist denn, bei allen interessanten Kunstgriffen im einzelnen, dies alles nicht letzten Endes trivial ? Liegt denn die Sache nicht so, daß, wie beim lichen rohen Begriff des Unendlichgroßen, ebenso auch bei den endlichen Mengen sich alle Größenunterschiede verwischen, daß also bei Aufwendung genügenden Scharfsinns alle unendlichen Mengen einander abgebildet werden können und somit der Satz gilt: Alle endlichen Mengen sind untereinander äquivalent? Träfe dieser Satz zu, so wären der Begriff der Äquivalenz und die bisherigen tungen über unendliche Mengen ohne wesentliche Bedeutung; es würde sich mit den unendlichen Mengen ähnlich verhalten wie mit dem naiven Begriff des Unendlichen, dem man Eigenschaften beizulegen pflegt wie die folgenden: ,,Unendlich plus Unendlich = Unendlich", „Unendlich plus jeder endlichen Größe = Unendlich'* usw., der aber eine scharfe Umgrenzung nicht zuläßt. Die Zurückweisung dieser rechtigten Frage werde dem Beginn des nächsten Paragraphen behalten. Vorher soll hier noch ein letztes Beispiel einer abzählbaren Menge gegeben werden, das die eben gestellte Frage als noch liegend, aber dafür auch den im nächsten Paragraphen dargestellten ersten großen Triumph der Mengenlehre als um so bedeutungsvoller und dramatischer erscheinen läßt.

4 . Die Menge der algebraischen Zahlen, Dem jetzt zu den Beispiel einer abzählbaren Menge sei eine Bemerkung schickt. Wie auf S. llf. definiert, verstehen wir unter einer (reellen)

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