§ 5. DsLS Kontinuum. Begriff der Kardinalzahl.

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ôjc = 2 sein. Diese Regel wirkt sich also folgendermaßen aus: In dem umstehenden Schema der Abzahlung Ф denken wir uns von der Ziffer «1 aus, die im wesentlichen die linke obere Ecke des Schemas bildet, die ,,Diagonale" des nach rechts und unten unendlichen ,, rats'' in der Richtung nach rechts unten gezogen; diese (durch die Pfeile angedeutete) Diagonale trifft von a^ aus nacheinander die Ziffern ôg' C3, ^4 usw., mit anderen Worten sie geht durch die erste Ziffer des ersten Dezimalbruchs von Ф, durch die zweite Ziffer des zweiten, die dritte Ziffer des dritten usw., allgemein durch die k^^ Ziffer des k^^^ Dezimalbruchs, wobei k alle natürlichen Zahlen durchläuft. Diese in der Diagonalen stehenden Ziffern sind maßgebend für die Wahl der Werte ö^, 62, • • .; während nämlich im allgemeinen für jedes k stets ôj: == 1 zu setzen ist, erleidet diese Regel eine Ausnahme lich für diejenigen Zahlen k, bei denen an der betreffenden stelle von Ф, nämlich am Platz der k^^^ Ziffer des Ä*en bruchs, schon die Ziffer 1 steht; für diese Werte k und nur für sie ist^ = 2 zu setzen. Damit ist ôjc für jeden Wert von k eindeutig definiert, und zwar so, daß öj^ stets verschieden ist von der k^^^ Ziffer des k^^^ Dezimalbruchs von Ф.

Wir können scliließlich aus den unendlichvielen Ziffern éj. den folgenden ganz bestimmten unendlichen Dezimalbruch bilden:

0 , (5i Ö2 <5з Й4 . . .,

# den wir zur Abkürzung mit D bezeichnen wollen; wir zeigen, daß dieser Dezimalbruch D in der gegebenen Folge Ф von brüchen nirgends vorkommt. M. a. W. wir beweisen: nimmt k der Reihe nach den Wert jeder natürlichen Zahl an, so ist der bruch D stets verschieden von dem k^^^ Dezimalbruch der lung Ф. Das folgt aus der Definition von D unmittelbar. D ist nämlich zunächst nicht der erste Dezimalbruch jener Folge; denn D unterscheidet sich von diesem schon in der ersten Dezimalziffer dl, die ja verschieden von der ersten Dezimalziffer a^ jenes ersten Dezimalbruchs gewählt war. (Da jener erste Dezimalbruch von Ф ebenso wie D unendliche Dezimalbrüche — nicht etwa einer von ihnen endlich — sind, die sich in einer Ziffer, nämlich der ersten nach dem Komma, unterscheiden, so stellen sie nach S. 43 wirklich verschiedene Zahlen dar). Ebensowenig kann D dem zweiten Dezimalbruch jener Folge gleich sein, von dem D jedenfalls in der zweiten Dezimalziffer (5 2 abweicht, usw. Ist allgemein k eine ganz beliebige natürliche Zahl, so ist D vom Ä*en Dezimalbruch der Folge Ф verschieden, weil nach der Definition von D zum mindesten die k^^ Dezimalstelle dj^ des bruchs D von der Ä*en Dezimalstelle jenes ä*®^ Dezimalbruchs abweicht. D kommt also wirklich in der Abzahlung Ф aller Dezimalbrüche der gegebenen Menge Cq nicht vor. Der Dezimalbruch D, der mit