§ 5. Das Kontmuum. Begriff der Kardinalzahl.

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nete ) Menge aller Punkte einer „kontinuierlichen" Strecke oder einer „kontinuierlichen" unbegrenzten geraden Linie die Mächtigkeit с besitzt, nennt man с die Mächtigkeit des Kontinuums.

8 . Die Kardinalzahl | der Menge aller Funktionen. Wir haben bisher nur zwei verschiedene unendliche Kardinalzahlen, nämlich а und C, kennengelernt. Zum Abschluß dieses Paragraphen soll noch eine unendliche Menge betrachtet werden, deren Mächtigkeit sowohl von а wie von с verschieden ist.

Unter einer (eindeutigen) Funktion у =^ f(x) versteht man in der Mathematik ein Abhängigkeitsverhältnis folgender Art (vgl. schon S. 18) : X sei eine Veränderliche (Variable), die alle Zahlen werte eines wissen Zahlenbereichs annehmen kann ; wir wollen der Einfachheit halber im folgenden als Bereich denjenigen aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 (beide Grenzen eingeschlossen) wählen, so daß also x alle Zahlenwerte zwischen 0 und 1 durchläuft. Zu jedem einzelnen solchen Wert von x soll ein jeweils ganz beliebiger, aber von nun an bestimmter (und im folgenden gleichfalls als reell angenommener) Zahlenwert у gegeben sein, etwa durch eine mathematische Formel, eine willkürliche (z. B. graphisch angedeutete) Vorschrift oder sonstwie; während die ,,unabhängige" Veränderliche x alle Werte des Bereiches durchläuft, wird daher auch die von X abhängige Veränderliche у innerhalb eines gewissen Bereiches reeller Zahlen veränderlich sein, doch brauchen dabei für verschiedene Werte von x nicht immer auch die zugehörigen Werte von у seits verschieden zu sein. Um eine solche Abhängigkeit zwischen zwei veränderlichen Größen x und у zu kennzeichnen, nennt man у eine (reelle) Funktion von x. Das Abhängigkeits- oder nis tritt auch schon in der Schreibweise deutlich hervor, wenn wir / (x) statt у schreiben; soll also z. B. für jede reelle Zahl x zwischen 0 und 1 als zugehöriger y-Wert die reelle Zahl x^ + 3 x gelten, so deutet man dies an durch die Schreibweise f{x) = x^ -}- 3 x; für den speziellen Wert X =4t ergibt sich demnach /(4) -= 16 + 12 =- 28.

Bekannte Beispiele derartiger Funktionen sind z. B. der Gang des Luftdrucks (Barometerstandes) an einem Orte oder die (eigentlich durch fortwährende Messungen zu bestimmende) Fieberkurve eines Kranken; die unabhängige Veränderliche x ist in beiden Fällen die Zeit, als Funktion f(x) der Zeit wird im ersten Beispiel der Luftdruck, im zweiten die Körpertemperatur bestimmt. Im folgenden werden wir unter x und f(x) nicht benannte Größen wie Zeit, Temperatur usw., sondern reine Zahlen verstehen.

Wir betrachten nun die Menge F aller überhaupt denkbaren tionen f(x) von X, wenn x alle Zahlenwerte zwischen 0 und 1 durchläuft. Jedes Element unserer Menge ist eine gewisse Funktion f{x). Zwei Funktionen sind natürlich verschieden, sobald die Vorschriften, durch

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