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Das Rechnen mit Kardinalzahlen.

zeitig vorkommen. Man bezeichnet die Vereinigungsmenge mit ©{iV, P} oder auch, da es sich gewissermaßen um die Summe der Elemente von N und derjenigen von P handelt, mit N + P, den Durchschnitt

dagegen mit %{N, P} oder [N, Py. Bedeutet z. B. N

die Menge aller Punkte des liegenden, P die Menge der -----------------1 Punkte des aufrechtstehenden Rechtecks in Abb. 7,

so umfaßt die Summe alle Punkte der ganzen kreuz-

- - - - - - - - - - - - - - - - - 1 artigen Figur, der Durchschnitt aber nur die Punkte

_____ des in der Mitte gelegenen Quadrats.

Abb . 7. Sind nicht nur zwei Mengen, sondern ist eine

beliebige (endliche oder unendliche) Menge M = {N, P, R, . . .} gegeben, deren Elemente N, P, R, . . . selbst Mengen sind, so versteht man entsprechend unter der Summe oder Vereinigungsmenge (BM ==(B{N, P, R, , , .} =N + P + R + ... diejenige Menge, welche alle Elemente umfaßt, die mindestens in einer der Mengen N, P, R,... vorkommen; der Durchschnitt ФМ = %{N, P, R, . . .} dagegen ist die Menge aller derjenigen Elemente, die gleichzeitig in allen Mengen N, P, R, . . . enthalten sind. Die Vereinigungsmenge entspricht dem logischen „oder" (latein. vel), der Durchschnitt dem logischen „und" („sowohl — als auch").

Ist z. B. Ml = {1, 2, 3,.. . .}, ikf 2 = {2, 3, 4, . . .}, Âf 3 = {3, 4, 5,. .'.} usw. und bedeutet M = {M^, M2, Mg, . . .} die abzählbare Menge all dieser (selbst sämtlich abzählbaren) Mengen, so ist die menge ®M offenbar gleich {1, 2, 3, .. .} (also gleich M^), dagegen der Durchschnitt ФМ gleich der Nullmenge; denn es gibt keine, wenn auch noch so große natürliche Zahl, die gleichzeitig in allen Mengen Ml, M2, Mg, . . . vorkommt, obgleich jede einzelne dieser Mengen gar unendlichviele Zahlen enthält. Um ein anderes Beispiel für den schnitt einer abzählbaren Menge von Mengen zu gewinnen, wähle man für Ml die Menge aller (etwa auf diesem Papierblatt denkbaren) schlossenen ebenen Polygone (Vielecke), für Mg die Menge all dieser Polygone mit Ausnahme der gleichseitigen Dreiecke unter ihnen,

1 Vielfach wird, ebenso wie die Summenbildung durch das Pluszeichen, so die Durchschnittsbildung durch den Malpunkt bezeichnet, zuweilen sogar ( lich in der französischen Literatur) statt „Durchschnitt" der Ausdruck „Produkt" gebraucht. Hierfür sprechen gewichtige Gründe (vgl. Aufg. 4/5 auf S. 77 sowie auch die Bezeichnungsweise der Logistik, siehe § 15, Nr. ф und man wird in der Regel so verfahren in den Anwendungsgebieten der Mengenlehre, wo der Durchschnitt eine höchst wichtige Rolle spielt, dagegen die Verbindungsmenge (S. 89) durchaus zurücktritt. Für die in diesem Buch im Vordergrund stehende theoretische (ab^ strakte) Mengenlehre dagegen ist die Verbindungsmenge weit bedeutungsvoller als der Durchschnitt und da bietet es dem Verständnis eine wesentliche terung, die Bezeichnungen ,,Produkt" und ,,mal" der Verbindungsmenge behalten, mittels deren (vgl. S. 91) die Multiplikation von Kardinalzahlen niert wird.