§ 7. Addition und Multiplikation der Kardinalzahlen. 87

die Kardinalzahl von M ist hiernach offenbar с + a, andererseits nach Satz 6 auf S. 42 = c, d. h. es gilt

с + а = с .

Zur Übung beweisen wir diese Beziehung noch auf anderem Wege, dem wir nämlich M mit der Menge N vergleichen, die alle reellen Zahlen umfaßt und also nach Satz 3 auf S. 52 die Kardinalzahl с besitzt. M ist eine Teilmenge von N, also gewiß äquivalent einer Teilmenge von N; da andererseits N äquivalent ist der Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1, ist auch umgekehrt N äquivalent einer Teilmenge von M. Nach dem Äquivalenzsatz (S. 71) sind daher M und N valent, d. h. auch M besitzt die Kardinalzahl с

Man kann die Beziehung с + а = с z. B. auch dahin deuten, daß die Menge aller transzendenten Zahlen, vereinigt mit der Menge aller algebraischen Zahlen, als Summe die Menge aller reellen Zahlen gibt (vgl. S. 54).

Als Beleg dafür, wie auch ohne ,,inhaltliche" Überlegungen schon an dieser Stelle durch rein „formale'' Rechnung neue Regeln folgert werden können, diene die folgende Herleitung der (auch aus Satz 6 auf S. 42 zu folgernden) Beziehung

с -}- n = с {n beliebige endliche Kardinalzahl),

die sich auf das assoziative Gesetz und die schon bewiesenen Regeln с = с + ci und а + n — а stützt :

c - ^n = {c + a)+n = c + {a+n) = c+a=c.

Übrigens gilt Entsprechendes für jede unendliche Kardinalzahl m. Denn aus Satz 6 auf S. 42 folgt :

m = m + ^ = m + a.

6 . Multiplikation von Mengen. Wir gehen jetzt zur Multiplikation von Mengen und Kardinalzahlen über und beginnen mit folgender Definition, die durch eine alsbald anzustellende Erwägung legt wird:

Definition 4. Zwei beliebige Mengen M und N seien gegeben. Um das Produkt von M und N herzustellen, bilden wir alle verschiedenen Elementepaare (w, n), deren einer Bestandteil m alle Elemente von M durchläuft, während für den anderen Bestandteil n alle Elemente von N eingesetzt werden sollen. Die Menge P, deren Elemente alle verschiedenen derartigen Elementepaare sind, wird das Produkt oder die Verbindungsmenge der Mengen M und N genannt; man schreibt P = M'N,