§ 7. Addition und Multiplikation der Kardinalzahlen. 93

Das assoziative Gesetz für Mengen wollen wir fur den Fall unendlichvieler Faktoren noch besonders in einer speziellen Form aussprechen, wobei wir wiederum die Bezeichnungsweise von S 85 unten benutzen. Ist wie dort

M = {iSTi. N2, .. , Pi, P2, .; 6p Ö2... .> ...}.

N = {iVi, iV2. . . }, P = {Pi, P2. . . .}, Ö = {61, Ö2. }.

so daß die paarweise elementefremden Mengen N, P, Q, . . mit M durch die Beziehung

M = iv + P + Ö + • • •

verknüpft sind, so besagt das assoziative Gesetz der Multiplikation:

( A ) 9ßN-SßP-^Q'" ^^M =Щ{М + P + g-f ...).

Diese Form des assoziativen Gesetzes erweist sich als besonders geeignet fur den Beweis der ersten der auf S. 109 anzuführenden Potenzregeln.

Ganz wie bei den endlichen Zahlen bestehen für eine beliebige Kardinalzahl m die Beziehungen^ :

m = m-l, m +m = m-2, m-2+m=:m-3 usw.

oder allgemein, wenn n eine beliebige endliche Kardinalzahl bedeutet:

m +m + • " + m = rn-n .

n Smnmanden

Dabei sind unter 1, 2, 3 usw. die so bezeichneten endlichen zahlen zu verstehen, deren Multiplikation mit anderen endlichen oder unendlichen Kardinalzahlen ja durch Definition 6 völlig erklärt ist. Die Richtigkeit dieser Beziehungen erkennt man dadurch, daß man jeweils die linke Seite nach der Definition der Addition, die rechte Seite nach der Definition der Multiplikation berechnet; die dabei schließlich linkerseits auftretende Vereinigungsmenge erweist sich dann als äquivalent der rechterseits entstehenden Verbindungsmenge, d. h. die angeschriebenen Beziehungen treffen wirklich zu. Um uns z. B. von der Gleichheit zwischen m + m und m • 2 zu überzeugen, bilden wir eine Menge von der Kardinalzahl m : M = {a, 6, c, . . .}, ferner eine zweite ebensolche (also zu M äquivalente) und zu M elementefremde: M' = {a\ b\ c\ . . .}, endlich eine Menge von 2 Elementen: iV = \n, n'}. Dann entspricht der Kardinalzahl m + m die Vereinigungsmenge

__________ M + M' = {a, b, c, . . . a\ b\ c\ . . .} ,

1 Im folgenden wird an die Auffassung angeknüpft, daß in einem Produkt Ш'п der an erster Stelle stehende Faktor m den Multiplikanden, der zweite Faktor n den Multiplikator darstellen soll, hiernach wurde die Multiplikation von m mit n bedeuten, die Zahl m w-mal als Summanden zu nehmen lich ist die umgekehrte Auffassung (m Multiplikator, n Multiplikand) gut möglich, sprachlich sogar wohl treffender; praktisch ist — sowohl m der Arithmetik wie bei den Kardinalzahlen — die Unterscheidung bedeutungslos, da die Multiplikation kommutativ ist. Erst bei der Multiplikation der zahlen (§9) ergibt sich em Unterschied; da wir dort dem (schließlichen) punkt Cantors folgen, wird ihm schon hier Rechnung getragen.