§ 9 Geordnete Mengen Ähnlichkeit und Ordnungstypus 125
vorangeht , wahrend dieses zweite seinerseits einem dritten vorangeht, um so mehr selber dem dritten Element vorangehen
Diese drei Eigenschaften, aber nichts Weiteres, wollen wir über die Anordnungsbeziehung fur Mengen voraussetzen, im übrigen kann diese also völlig willkürlich sein Der bequemen Bezeichnung wegen benutzt man fur die Anordnungsbeziehung em Zeichen etwa *^ (nicht zu verwechseln mit dem fur die Größenordnung der Kardinalzahlen wendeten Zeichen <), wir schreiben also a ^b (gelesen etwa ,,л vor b")y wenn von den zwei Elementen а und b einer Menge auf Grund der ordnungsregel а vorangeht und Ъ nachfolgt Völlig gleichbedeutend mit а ^b soll die Schreibweise Ъ^ а {,,b nach a") sein Die drei geführten Eigenschaften lassen sich dann so ausdrucken
1 Es ist nie а -^ a, 2 es ist nie gleichzeitig а ^ b und 6 <? a, 3 aus а ^ b und b ^ с folgt а ^ с Oder m Worten die beziehung ist nicht-reflexiv, asymmetrisch und transitiv (vgl S 20)
Definition 1 Ist zu егпег Menge M eine Regel gegeben, die fur "jedes Paar {a, b) verschiedener Elemente aus M eine der Beziehungen a ^ b und b -^ a festlegt und dabei den drei soeben angeführten Eigenschaften Genüge leistet, so sprechen wir von der einfach^ geordneten Menge M oder kurz von der geordneten Menge M
Eine „geordnete Menge*' entsteht also genau genommen durch die Zusammenfassung von zweierlei einer Menge schlechthin und einer Ordnungsregel fur sie, od-^r anders gefaßt durch die Hmzufugung einer weiteren Beziehung, der der Anordnung, zur Gleichheitsb^Ziehung m Mengen Die Ordnungsregel kann, wenn M eine endliche Menge ist, durch Aufzahlung aller Paare von Elementen und Angabe der jeweils gültigen Ordnungsbeziehung ausgedruckt werden (etwa tabellarisch) Em derartiges Verfahren ist natürlich bei einer unendlichen Menge M unmöglich Hier muß an die Stelle einer Aufzahlung oder Tabelle das Hilfsmittel treten, dessen sich die Mathematik allgemein bedient, um unendlichviele Einzelsachverhalte m einen endlichen Ausdruck zu kleiden das Gesetz (zu dessen Aussprache man meist Formeln benutzt) Es verhalt sich damit also ebenso wie mit der Abbildung zweier valenter Mengen (d h der umkehrbar eindeutigen Zuordnung ihrer Elemente), die zwar bei endlichen Mengen durch eine Summe vonEmzel-
1 Was man unter mehrfach geordneten Mengen, die fur uns ganz außer tracht bleiben können, zu verstehen hat, wird dem mit den komplexen Zahlen vertrauten Leser hinlänglich klar an dem folgenden Doppelbeispiel, das arithmetisch oder geometrisch aufgefaßt werden kann Man stelle die komplexen Zahlen (ebenen Vektoren, Punkte einer Ebene) einmal dar in der Form a -\-Ъг (a und Ь reell), das andere Mal m der Form r (cos 9? + ^ sin q)) (r Absolutbetrag, 0 < 9 < 2 я) Ordnet man die Zahlen (Punkte) im ersten Fall gleichzeitig nach der Große von а einerseits, von b andererseits bzw im zweiten Fall gleichzeitig nach der Große von r einerseits, von (p andererseits, so erhält man m beiden Fällen je eine zweifach geordnete Menge