§ 11. Allgemeine Theorie der wohlgeordneten Mengen. 165

7 . Welches ist die Ableitung a) der Menge aller rationalen Punkte, l)) eines offenen (d. h. ohne seine Endpunkte genommenen) Intervalls ?

8 . Eine dichte Menge braucht nicht insichdicht zu sein. Man zeige dies an Hand der Punktmenge N, die außer den rationalen (oder auch allen) Punkten zwischen 0 und 1 sowie zwischen 3 und 4 — die Grenzen jeweils ausgeschlossen — noch den Punkt 2 enthält, und man mache sich den inneren Grund klar, der mit der Verschiedenheit der gangspunkte bei den Definitionen 1 und 3|4 zusammenhängt!

9 . Man zeige, daß die in Beispiel 4 auf S. 161 ff. angeführte perfekte, nirgends dichte Menge unendlichviele Sprünge, aber keine Lücken aufweist Î

10 . Man beweise, daß allgemein eine abgeschlossene Punktmenge keine Lücken besitzt!

11 . Man überzeuge sich, daß der in Beispiel 4 auf S. 161 ff. ten Menge auf der Zahlengeraden diejenige Zahlenmenge entspricht, die bei Darstellung der reellen Zahlen durch triadische Brüche (d. h. Grundzahl 3 statt der bei den Dezimalbrüchen verwendeten Grundzahl 10, vgl. S. 110) diejenigen triadischen Entwicklungen enthält, in denen nach dem Komma nur die Ziffern 0 und 2 auftreten, nicht aber die Ziffer 1 (während vor dem Komma die Zahlen 0, 2, 6, 8 stehen)! (Z. B. wird Punkt 1 durch die triadische Entwicklung 0,222 .... gestellt, vgl. S. 44 oben.)

§ 11. Allgemeine Theorie der wohlgeordneten Mengen. Von den endlichen Mengen.

1 . Grundbegriffe und Grundtatsachen. Unter den geordneten Mengen, mit denen wir uns in den letzten beiden Paragraphen beschäftigt haben, gibt es spezielle Mengen, die durch die besondere — wenn man will: besonders einfache — Art der Anordnung ihrer Eleniente bemerkenswert sind und die man als ^^wohlgeordnet'* bezeichnet. Im Reiche der geordneten Mengen herrschen besonders einfache Verhältnisse, die in vielen Hinsichten an die uns wohlvertrauten Eigenschaften der wöhnlichen Zahlenreihe erinnern. Dementsprechend werden wir in den Ordnungstypen der wohlgeordneten Mengen eine Klasse „unendlicher Zahlen'* kennenlernen, die viele Eigenschaften der endlichen Zahlen aufweisen und uns daher einen weniger fremden Eindruck machen, als ihn die unendlichen Kardinalzahlen und namentlich die nungstypen unendlicher geordneter Mengen zunächst erwecken mögen.

Ist schon hiermit ein besonderes Eingehen auf die Theorie der wohlgeordneten Mengen hinreichend gerechtfertigt, so werden gewisse Eigenschaften dieser Mengen doppelt bedeutungsvoll dadurch, daß sie sich ^:^^nzbeUeUge Mengen ^übertragea lassen^ Im ersten Jahrzehnt dieses Jahrhunderts ist nämlich der strenge Nachweis der schon von