272 Der axiomatische Aufbau der Mengenlehre.

Zwischen je zwei in bestimmter Reihenfolge gegebenen Objekten m und n der Grundkategorie ,,Menge*' soll die durch das Zeichen e ( fangsbuchstabe der Kopula hoxi) dargestellte Grundrelation entweder bestehen oder nicht bestehen. Im ersten Fall schreiben wir men, oder in Worten: m ist ein Element von n, n enthält oder besitzt das Element m, m kommt in n (als Element) vor usw.; im zweiten Fall, wenn also m nicht Element von n ist, schreiben wir m$n.

Um die Axiome bequem aussprechen zu können, beginnen wir mit einigen Erklärungen, die aus den Grundbegriffen neue „abgeleitete*' Begriffe auf dem üblichen definitorischen Wege bilden. Es handelt sich hier also nicht etwa, wie bei den Axiomen, um tragende und liche Pfeiler des zu errichtenden Gebäudes, sondern wesentlich um kürzungen der Redeweise, welche bei stetem unmittelbarem Zurückgehen auf ,,Menge" und e bis zur Unerträglichkeit schleppend und sichtlich würde.

Definition 1. Sind m und n Mengen von der Art, daß jedes ment der Menge m auch in n als Element vorkommt (daß also aus aem stets a en folgt), so wird m eine Teilmenge der Menge n genannt^.

Hiernach ist im besonderen jede Menge eine Teilmenge von sich selbst. Weiter folgt aus dieser Definition, daß jede Teilmenge einer Teilmenge von n wiederum eine Teilmenge von n ist. Denn sind m, p, n Mengen, von denen m eine Teilmenge von p, p eine Teilmenge von n ist, so folgt aus aem stets aep, hieraus stets a en, also aus aem stets a en, wie zu zeigen war.

Der Unterschied zwischen dieser Definition und der entsprechenden in der CANTORschen Mengenlehre (Definition 2 auf S. 20) liegt darin, daß hier von licher Bedeutung die Voraussetzung ist, wonach nicht nur n, sondern auch m eine Menge sein muß. Die Menge m muß also von vornherein als existierend vorliegen, um Teilmenge von n sein zu können; sie kann nicht wie a. a. O. fach als „Zusammenfassung gewisser Elemente von w" gebildet werden und auf Grund dessen den Charakter als Teilmenge von n erhalten. Das entspricht unserem Grundsatz, keine Mengen außer den durch die Axiome geforderten zuzulassen, also namentlich auch nicht mittels einer Definition Mengen „herzustellen".

Es ist wichtig, die beiden Relationen „Element sein*' und „ menge sein'* scharf voneinander zu scheiden; ihre Verwechslung, die durch sprachliche Momente (doppelte Verwendungsfähigkeit des Wortes „enthalten" oder auch „umfassen") begünstigt wurde, hat in der Logik öfters unerwünschte Folgen gezeitigt. Während eine Menge stets menge von sich selbst ist, wird sie in der Regel nicht Element von sich selbst sein.

Definition 2. Sind m und n Mengen und ist sowohl m eine menge von n wie auch n eine Teilmenge von m, so heißt m gleich n', in

^ Man benutzt für diese (aus der Grundrelation e abgeleitete) Relation fach das Subsumptionszeichen =^, schreibt also m^n. Doch soll nachstehend vom Gebrauch dieses Zeichens abgesehen werden.