292

Der axiomatische Aufbau der Mengenlehre.

Aussonderung leicht zu sehen, daß unter den Teilmengen von SM eine Menge S vorkommt, die all die ausgezeichneten natürlichen Zahlen und nur sie zu Elementen besitzt; die Eigenschaft ® kann darin bestehen, die kleinste Zahl in einem Element von M zu sein^. S ist dann eine der gesuchten Auswahlmengen von M.

Beispiel 8, Ganz anders gestaltet sich die Sachlage, wenn wir unter M eine (unendliche) Menge von Mengen reeller Zahlen verstehen, wenn also in den Elementen von M beliebige reelle Zahlen auftreten können. Dann wird die Angabe einer Regel, die jedem Element von M eine darin vorkornmende reelle Zahl zuordnet, im allgemeinen mit den derzeitigen Mitteln der Wissenschaft unmöglich sein; „im nen", das heißt nämlich, wenn nicht zufällig die Menge M und ihre Elemente so gebaut sind, daß ausnahmsweise ein geeignetes Gesetz gebbar ist. Dies steht in scharfem Gegensatz zum vorigen Beispiel, wo eine solche Regel für die Elemente von M leicht aufzustellen war, die Regel nämlich: jedem Element von M — d. i. stets eine Menge von natürlichen Zahlen — wird die kleinste der darin den natürlichen Zahlen zugeordnet. Der Leser wird sich die ungeheure, bisher nicht überwundene Schwierigkeit der Angabe einer solchen Regel in unserem Fall einigermaßen anschaulich machen können, wenn von der (nicht wesentlichen, vgl. S. 289) Bedingung der fremdheit der Elemente von M abgesehen wird, wenn also die mente von M beliebige Mengen reeller Zahlen sein dürfen. Dann kann und soll für M die Menge aller Mengen von reellen Zahlen genommen werden, d. h. die Potenzmenge MN, wo AT die Menge aller reellen Zahlen (oder aller Punkte einer gegebenen Geraden) bedeutet, und zwar unter Ausschluß der (in MN zunächst vorkommenden) Nullmenge. Um dann wie im vorigen Beispiel ein Gesetz für die Auswahl je eines Elementes aus den Elementen von M angeben zu können, hätte man eine Regel aufzustellen, durch die in jeder Menge von reellen Zahlen eine dieser Zahlen eindeutig hervorgehoben wird. Das scheint vielleicht auf den ersten Blick gar nicht so schwierig, um so mehr aber bei näherem Zusehen. In jeder solchen Menge etwa wieder die kleinste Zahl hervorzuheben, geht nicht an; denn in einer Menge reeller Zahlen braucht eine kleinste Zahl gar nicht vorzukommen, wie etwa die Menge aller reellen Zahlen zeigt oder auch die Menge aller positiven reellen Zahlen, in der doch gleichzeitig mit jeder in ihr enthaltenen Zahl z. B. auch die halb so

1 Ähnlich ist übrigens die Sachlage bei jeder ,,abzählbaren" Menge M, fern man diesen Ausdruck nicht im üblichen, sondern im streng intuitionistischen Sinne versteht. Für diesen ist nämlich eine tatsächliche Abzahlung der Elemente m, n, p, ... von M nicht wohl anders möglich, als daß aus jeder dieser Mengen je ein bestimmtes Element systematisch angegeben wird, und dann erscheint die Aussage des Auswahlprinzips wiederum beweisbar. Vgl. Lusin [2], S. 81. sprechendes gilt für jede „effektiv wohlgeordnete'* Menge.