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Der axiomatische Aufbau der Mengenlehre.

zahlen , Ordnungstypen und Ordnungszahlen wird hierbei wegen der damit verbundenen grundsätzlichen Schwierigkeiten (vgl. S. 58 ff.) wöhnlich voEständig vermieden; doch ist, wenn man das axiom zuhilfe nimmt, auch die Einführung der Ordnungszahlen und Alefs innerhalb der Axiomatik möglich ^.

Zu einer Definition der Äquivalenz gelangt man durch folgende Überlegung: Sind M und N zwei äquivalente elementefremde Mengen, so läßt sich eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen ihren menten offenbar deuten als die Bildung einer Menge von paaren {m, n}, deren einer Bestandteil m je ein Element von M stellt, während der andere Bestandteil n stets der Menge N angehört ; dabei ist es ausgeschlossen, daß in zwei verschiedenen Elementepaaren das nämliche Element m oder das nämliche Element n vorkommt, ein Umstand, in dem sich der umkehrbar eindeutige Charakter der ordnung ausdrückt. Man kann nun diesen Gedankengang umkehren und, wenn zwei elementefremde Mengen M und N gegeben sind, die Aufgabe stellen, eine Menge von Elementepaaren {w, n} von folgenden Eigenschaften zu bilden: 1. m durchläuft alle Elemente von M, n alle Elemente von N, so daß ein derartiges Paar [m, n] stets dem Produkt M'N als Element angehört; 2. in zwei verschiedenen Elementepaaren kommt niemals das nämliche Element aus M oder aus N vor. Ist diese Aufgabe lösbar, so liefert uns jede Lösung eine Abbildung zwischen M und iV, diese beiden Mengen sind dann jedenfalls äquivalent; gibt es dagegen keine solche Menge von Elementepaaren, so existiert keine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen den Elementen von M und N, diese Mengen sind also nicht äquivalent.

So gelangen wir zu der folgenden, rein auf unsere Axiomatik gründeten

Definition der Äquivalenz. Sind M und N elementefremde Mengen, so heißt M äquivalent N y wenn das Produkt M • N mindestens eine Teilmenge Ф von der Art besitzt, daß jedes Element der Summe M + N in einem einzigen Element von Ф auftritt, Ф heißt eine Abbildung zwischen den Mengen M und N,

Die Bildung einer derartigen Menge Ф von Elenoientepaaren gestaltet sich auf Grund unserer Axiome folgendermaßen: Zunächst existiert nach S. 313 und Axiom II das Produkt P = M ' N, das alle Paare {m, n} von der ersten Eigenschaft enthält. Es handelt sich also um die Bestimmung einer Teilmenge von P, die noch die zweite der angeführten Eigenschaften besitzt; die Menge aller derartigen Teilmengen von P — d. h. aller derartigen Elemente von IIP — ist eine durch jene zweite Eigenschaft völlig charakterisierte Teilmenge U^ von UP, sie existiert also nach dem A. d. Aussonderung. Es sind nun zwei Fälle denkbar. Entweder ist Uq = 0; dann gibt es keine Teilmenge von P mit der ge-

^ Übrigens liegt auch eine eigene, von der allgemeinen Begründung der Mengenlehre unabhängige A xiomatik der endlichen und unendlichen Kardinalzahlen vor (Fraenkel [4]). Man vergleiche ferner Baer [4].