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I . Kapitel: Einleitendes aus der Kinematik.

cosoc'öyj um Ox, cos^-^t/; um Oy, cosy^ôyJ um Oz unterwerfen. Jede infinitesimale Rotation агр um eine Gerade OK ist also äquivalent den aufeinander folgenden infinitesimalen Rotationen à\p • cos KO x um Ox, àxp * cosKOy um Oy y dip * cosKOz um Oz, wo Ox, Oy, Oz irgend drei zueinander senkrechte Geraden durch einen beliebigen Punkt 0 von OK sind. %

§ 9. Eulers Parameterdarstellung der Rotation um einen

Punkti ) .

Der analytische Ausdruck für die in einer Bewegung enthaltene Translation ist, wie wir sahen, außerordentlich einfach ; weniger einfach Jst der Ausdruck für die Rotation, mit dem wir uns weiter beschäftigen. Ein starrer Körper erfahre eine Drehung vom Winkel со um eine Achse durch den Ursprung mit den Richtungswinkeln oc, ß, y. Nach § 7 sind die Koordinaten X, Y, Z der neuen Lage eines Punktes mit den koordinaten X, y, z gegeben durch die Gleichungen

X = X — 2sin2|^a>(%sin2öc — у cosacosjß — zcosoccosy)

+ 2sin|-a)Cos|^co(^coSjS — ycos^), Y ~y — 2sm^^(o{ysm^ß -— -^cos^cos/ — л;cos/^cosa)

+ 2 sinf CO cos^^co (л; C0S7 — ;8:cosa), Z—z — 2sm^^a>(zsm^y — Jv:cosycosa — ycos^'cos/î)

+ 2 sin-|-О) cos ^00 (y cos a -- л;со8у5).

Wir führen nun Parameter i, rj, C, X ^^^ durch die Definitions- Çleichungen

^ = cosocsm^cjûy fj = cosßsm^a),

^ = cosy sinket), ;ç = COSTCO.

Zwischen ihnen besteht offenbar die Relation

^ + ^2+^2 + ^2=1.

Die obigen Gleichungen lassen sich dann in der Form darstellen

X== ( i^ - fj^ - C^ + X^)x + 2{èr]-Cx)y + 2{H + VX)^^ Y = 2(ir) + Cx)x+{-^ + ^^-C^ + X^)y + 2(v^~ix)^,

Z : = : ^2 { H - nx ) ^ + 2(rj^ + ix)y + i-^''-v'+^ + x')^-

Wenn daher die Koordinatenachsen mit OX YZ bezeichnet werden und ein bewegliches Achsensystem, das vor der Bewegung mit dem ersten zusammenfällt, durch die gegebene Rotation in die Lage Oxyz gedreht wird, so bestimmen sich die Richtungskosinus der beiden Achsentripel in bezug aufeinander aus dem folgenden Schema:

1 ) Novi Comment, Petrop. Bd. 20, S. 208, § 6ff. I776.