Formen mit negativer Determinante.

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Hier fügen wir nur eine einzige Bemerkung hinzu. Schon oben haben wir gezeigt, dass, wenn die Determinante einer Form {a, &, c) negativ, gleich —Д ist, a und с dasselbe Zeichen haben (weil nämlich ac=&2 + D und somit positiv ist). Aus demselben Grunde erkennt man leicht, dass, wenn die Formen {a, b, c), (a', b% c') äquivalent sind, alle Grössen a, c, a', c' dasselbe Zeichen haben werden. Denn wenn die erstere in die letztere durch die Substitution д? = аА?'+р/, у=:-^х'+Ьу' übergeht, so ist aa^ + 2Ьщ + ci^ = Ы und hieraus aa'= (aa + bi)^ + D^^ und somit sicher nicht negativ. Da aber weder а noch a' gleich Null sein kann, so wird aa' positiv sein und mithin werden die Zeichen von a, a' dieselben sein.

Hiernach ist klar, dass die Formen, deren äussere Glieder positiv sind, von denen, deren äussere Glieder negativ sind, vollständig separiert sind, und es reicht hin, von den reducierten Formen nur diejenigen zu betrachten, welche positive äussere Glieder haben, da die übrigen in gleicher Anzahl vorhanden sind und aus jenen entstehen, wenn man den äusseren Gliedern entgegengesetzte Zeichen giebt; und eben dasselbe gilt von den Formen, welche von den reducierten wegzulassen und beizubehalten sind.

176 . Man sieht hier für gewisse negative Determinanten eine Tafel der Formen, nach denen alle übrigen Formen mit derselben Determinante in Klassen geschieden werden können. Den Bemerkungen im vorigen Artikel gemäss setzen wir aber nur die Hälfte her, nämlich diejenigen, deren äussere Glieder positiv sind.

JD

1 2 3 4 5 G 7 8 9

10 11 12

( 1 , 0, 1)

( 1 , 0, 2)

( 1 , 0, 3), (2, 1, 2)

( 1 , 0, 4), (2, 0, 2)

( 1 , 0, 5), (2, 1, 3)

( 1 , 0, 6), (2, 0, 3)

( 1 , 0, 7), (2, 1, 4)

( 1 , 0, 8), (2, 0, 4), (3, 1, 3)

( 1 , 0, 9), (2, 1, 5), (3, 0, 3)

( 1 , 0, 10), (2, 0, 5)

( 1 , 0 , 11), (2, 1, 6), (3, 1,4), (3,-1, 4)

( 1 , 0, 12), (2, 0, 6), (3, 0, 4), (4, 2, 4).

Es würde überflüssig sein, diese Tafel hier weiter fortzusetzen, da wir unten eine viel zweckmässigere Einrichtung derselben zeigen werden.

Offenbar also wird jede Form mit der Determinante — 1 der Form й^^-ь^^, wenn die äusseren Glieder derselben positiv sind, dagegen der Form —x^ — ^^, wenn sie negativ sind, eigentlich äquivalent sein. Jede