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Fünfter Abschnitt.

[ Art . 271. 272]

Hieraus geht sogleich hervor, dass, wenn sowohl A' als aD negative Zahlen sind, sämtliche Werte von h negativ sind, weshalb offenbar durch die Form f nur solche Zahlen dargestellt werden können, deren Vorzeichen dem Vorzeichen von aA' entgegengesetzt, d. h. identisch mit dem zeichen von a, oder entgegengesetzt dem Vorzeichen von D ist. In diesem Falle ist also / eine definite Form und zwar eine positive oder negative, je nachdem a positiv oder negativ, oder je nachdem В negativ oder positiv ist.

Sind aber entweder beide Zahlen «D, A' positiv oder die eine positiv, die andere negativ (keine gleich 0), so sieht man leicht, dass h durch gehörige Bestimmung der Grössen л?, x\ x" sowohl positive als auch tive Werte erhalten kann. Daher wird in diesem Falle /' Werte erhalten können, die mit demselben Vorzeichen oder mit entgegengesetztem Vorzeichen wie aA' behaftet sind, und daher wird f eine indefinite Form sein.

In dem Falle, wo A'= 0, aber nicht а = 0 ist, folgt:

gr== ( ax - h b"x' + Ъ'х'У — x'{A!'x'— Wx'^

Giebt man x' einen willkürlichen Wert (der jedoch nicht gleich 0) und

A'x' nimmt man x" so an, dass -щ.-----x" dasselbe Vorzeichen erhält wie Bx'

( dass dies möglich ist, sieht man leicht, da Б nicht gleich Null sein kann; denn sonst würde B^ — AA!'=^aB = 0 und daher D = 0 sein, welchen Fall wir ausgeschlossen haben), so wird x' {A"x'—'iBx") eine positive Grösse, woraus leicht hervorgeht, dass x derart bestimmt werden kann, dass g einen negativen Wert erhält. Offenbar können diese Werte auch so angenommen werden, dass sie, wenn es gewünscht wird, sämtlich ganze Zahlen werden. Endlich ist klar, dass, wenn x\ x" beliebige Werte beigelegt werden, x so gross angenommen werden kann, dass g positiv wird. In diesem Falle ist daher f eine indefinite Form. Ist endlich a = 0, so wird

f= : \'x'^ ■+■ ^bx'x"-^ a"x"^ + 2x ^''х'Л- Ъ'х").

Nimmt man daher x'y x" nach Belieben, jedoch so an, dass Ь'^х'+Ъ'х" nicht gleich 0 ist (was offenbar möglich ist, wofern nicht gleichzeitig b' und b" gleich 0 sind; dann würde aber D = 0 sein), so sieht man leicht, dass x so bestimmt werden kann, dass Y sowohl positive als auch negative Werte hält. Daher ist auch in diesem Falle f eine indefinite Form.

Auf dieselbe Weise, wie wir hier aus den Zahlen аД А die Natur der Form f beurteilt haben, können auch аВ und A" angewendet werden, so dass f eine definite Form ist, wenn sowohl аВ als auch A" negativ ist, eine indefinite aber in allen übrigen Fällen. Und auf ganz dieselbe Weise kann demselben Zwecke auch die Betrachtung der Zahlen a'B und A, oder der Zahlen a'B und A', oder der Zahlen a"B und А oder endlich der Zahlen a"B und A! dienen.