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damit aber ist x^ ein' Factor in den niedrigst potenzierten Gliedern der Hesse'sclien Determinante, weil jedes Glied ihrer Entwickelung eines dieser drei Differentiale enthält.

16 . Das Vorige setzt uns in den Stand, den Einfluss vielfacher Punkte in f/ == 0 auf die Zabi der Inflexionspunkte dieser Curve zu ermitteln. Ein Doppelpunkt in U = 0 ist auch ein Doppelpunkt in Ж= 0 und auch seine Tangenten sind für beide Carven dieselben, derselbe zählt also für sechs (vergL Art. 42.) unter den Schnittpunkten beider. Die Zahl der vom Doppelpunkt verschiedenen Durchschnittspunkte der Curven f/ = 0 und H = 0 wird somit um sechs Einheiten vermindert, und es wird also durch д Doppelpunkte, welche die Curve n^^'' Ordnung besitzt, die Zahl ihrer punkte auf 3 n (n — 2) — 6д gebracht.

Und Avenn (/==() einen vielfachen Punkt vom Grade к hat, so ist derselbe (3/v —4)fach in Jtf = 0 und к von den Tangenten in diesem Punkte sind beiden Curven gemein*, der vielfache Punkt zählt somit unter den punkten für к {3k — 4) + /v == G . .^ к {к — 1) Punkte, und da wir aus Art. 70. wissen, dass ein /tfâcher Punkt mit \k {k—1) Doppelpunkten äquivalent ist, so können wir sagen, das s der vielfache Punkt in Bezug auf die Reduction der Anzahl der Inflexionspunkte ganz dieselbe Wirkung hat, wie die äquivalente Anzahl yon- Doppelpunkten.

77 . Der Fall der Spitze erfordert eine besondere suchung. Wenn wir sie,zum Fundamentalpunkt A^ der Co- ordinate!! und x^ == 0 als die entsprechende Tangente len; so ist die Gleichung der Curve von der Form

die niedrigsten Glieder in den zweiten Diiferentialquotienten sind dann von deti Graden 0, 1, 2, 2, l, 1 respective; sie sind nämlich

U , , = (n - 3) ^ x,"-*, U,, = 2 (n - 2) ^1 x,»-% ^2 dxidocz ^