110 I- 4. Diskussion des Verlaufs der Integralkurven.

die Bedingung

__dF dF dx dF dy

~~ ~dt ~ ~dxU "^ ~dy~dt

Um F dieser Bedingung gemäß bestimmen zu können, denken wir uns die Entwicklung von F nach homogenen Polynomen der %, y geordnet :

F = Fl + F2 + . . .

Dabei ist F^ ein homogenes Polynom Ä-ter Ordnung. Die gleichung dürfen wir nach S. 100 in der Form

annehmen^ . Daraus erkennt man sofort, daß F^ = 0 sein muß. Ebenso leicht findet man F^^= %^ -^^ y'^. Denn auf einen konstanten Faktor kommt es bei der Bestimmung von F nicht an. Und ferner hat man

die Bedingung, daß bei Ordnung von -^ nach homogenen Ро15шотеп

alle diese einzelnen Polynome verschwinden müssen. Für das Polynom F;fc findet man hiemach die Bedingung

( 16 ) yy^--^-^ = G,.

Dabei ist G;^ ein Polynom ^-ten Grades, das sich aus der gleichung und denjenigen F^ zusammensetzt, deren Ordnung niedriger als h ist. Zur weiteren Rechnung führt man am bequemsten naten ein: a; = çcosi?, 3/ = ^sini?. Dann erkennt man leicht, daß für ein homogenes Polynom ^-ten Grades

^h = Q^ mpn cosnê + Çn sinne) gilt. In der Fourierreihe kommen dabei nur solche Glieder vor, deren Nummer n dieselbe Parität hat wie k, und k nicht übertrifft. Man sieht auch leicht ein, daß umgekehrt diese Bedingung dafür hinreichend ist, daß das ç* -fache der Fourierreihe ein homogenes Polynom ^-ten Grades ist. Setzt man dann F^. = q^ q?[ê) und G^ = Q^y){ê), so wird aus der Gleichung (16) die folgende:

Man kann ihr also dann und nur dann genügen, wenn das glied in der Fourierreihe für грЩ, d.i. also pQ=0 ist. Das ist für

^ Das zunächst noch vorhandene //3 kann man durch die mation

dr

zu Eins machen.