§ 12. Kanonische Transformationen und Beruhrungstransformationen. 321

die gleiche Transformation erfahren wie die

( 19 ) -^ -^

und zwar bei beliebiger Wahl von f oder, wie wir in üblicher Weise sagen wollen, wenn die beiden Großenreihen (18), (19) kogredient transformiert werden

Wir haben nun gleich auch kontragrediente lineare Transformationen zu betrachten. Die unabhängigen Veränderlichen ^j^, rjj^ mögen in f^,, rji Imear transformiert werden (^ = 1, 2, . , n) deiart, daß

n n _

( 20 ) Uhr]k = I]hv,'

Dann sagen wir, die beiden linearen Transformationen seien gredient.

Tragt man m (12) für die x und p beliebige zweimal stetig zierbare Funktionen eines Parameters r ein und differenziert dann (12) nach demselben, was durch aufgesetzte Punkte bezeichnet sei, so halt man

( 21 )

У IL Y _L У IL p

Nach (20) werden also die

( 22 )

kontragredient zu den

( 23 )

df df dxj,' dpk

transformiert . Sie werden also nach (18), (19) auch kontragredient zu den

( 24 ) ^L -4

transformiert . Daher gilt wegen (20)

( 26 ) JjiPj, X, -- Pj, X',) = 2JiPk h - h 4)

^ = l Те=-1

fur jede kanonische Transformation. Umgekehrt ist aber auch jede formation, fur die (25) bei beliebiger Wahl der Ху.[т), pki't) und bei liebiger Wahl von f, d h. bei beliebiger Wahl der 4> ^k>Pk' Pk ^^^^' nisch. Denn (25) besagt, daß (22) und (24) kontragredient transformiert werden. Wegen (21) werden (22) und (23) bei beliebigen / dient transformiert und daher werden (18) und (19) kogredient formiert. Daher ist die Transformation kanonisch.

BiEBERBACH , Diftenentialgleichungen, 3. Aufl.

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