§ 1. Die GREENSche Formel.

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Funktion V wollen wir als GREENsche Funktion des Bereiches zeichnen. Wir schreiben

V =: G{x, y; I, rj),

um auch ihren Aufpunkt (|, rj) kenntlich zu machen. Dort wird sie

unendlich wie log—, und am Rande verschwindet sie. Die Frage ist

aber nun, ob eine solche GREENsche Funktion stets existiert.

3 . Prinzip des Maximums. Vor der allgemeinen Erörterung dieser Frage weise ich auf einen besonderen Fall hin. Es sei z.B. ein Kreis vom Radius R vorgelegt und ^,rj sei sein Mittelpunkt. Dann ist

v = G(x,y; |,^) = log~ {r^ = {x _|)2+(з;_^)2).

Dann wird ^- =----т" = H----(weil n die innere Normale ist). Wir

an ör r ^ '

haben somit für den Wert einer Potentialfunktion im Mittelpunkt eines Kreises diesen Ausdruck durch die Randwerte

( 8 ) u{^,ri)=^-lJ^u{R', cp)dq>.

0

Der Wert im Mittelpunkt ist somit das arithmetische Mittel der Randwerte. Er ist daher stets kleiner als der größte Randwert und diesem nur dann gleich, wenn die Funktion am Rande konstant ist. Schon diese merkung genügt nun aber, um tatsächlich zu beweisen, daß es nicht mehr als eine in einem Bereiche В reguläre Potentialfunktion gibt, welche am Rande des Bereiches gegebene Randwerte besitzt, und welche im Bereiche und an seinem Rande stetig ist. Denn wenn w^ und u^ zwei in В reguläre Potentialfunktionen gleicher Randwerte sind, so ist щ — u^ eine im Bereiche reguläre einschließlich des Randes stetige Potentialfunktion, welche am Rande des Bereiches verschwindet. Wäre sie nun nicht im Bereiche überall Null, so müßte sie in seinem Inneren ein Maximum oder ein Minimum haben und es ist keine schränkung der Allgemeinheit anzunehmen, daß es ein positives mum sei. Alsdann schlage man um eine Stelle, wo die Funktion diesem Maximum gleich ist, einen dem Bereiche angehörigen Kreis. Da sie im Mittelpunkt dem arithmetischen Mittel der Randwerte gleich ist, ihren größten Wert aber daselbst annimmt, so muß sie am Rande überall diesem größten Werte gleich sein. Da dies für jeden Kreis um den Maximumpunkt gilt, so ist sie im größten um diesen in В schlagbaren Kreis konstant. Durch Heranziehung weiterer Kreisscheiben schließt man hieraus, daß die Funktion im ganzen Bereiche konstant sein muß. Da sie aber am Rande verschwindet und im abgeschlossenen Bereiche stetig ist, so muß sie auch im Inneren verschwinden. Eine im Inneren des Bereiches В reguläre einschließlich des Randes stetige Potentialfunktion

BiEBERBACH , Differentialgleichungen. S.Aufl. 24