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IV . 4. Parabolische Differentialgleichungen.

Lösungen . Sollen sie für x =0 und für x = l bei beliebigem t schwinden, so muß ^1 = 0, Д — j2 (n = 0, l, 2, . . .) sein. Durch Addition mehrerer Lösungen erhält man neue Lösungen. Also ist

П2л2

и (X, t)=2j ^п siï^ —7— • ^

eine Lösung, immer dann, wenn diese Reihe samt ihren in der rentialgleichung vorkommenden Ableitungen für 0 ^ л; ^ Z und ein wisses /-Intervall gleichmäßig konvergiert. Diese Lösung passe man nun dem Anfangszustand an. Für t =0 sollte u[x, 0) = f[x) sein. Das liefert die Gleichung

f [ x ) =I!c^sm-j-,

und wir haben wieder Anschluß an die Theorie der FouRiERschen Reihen.

Wenn die Enden nicht ständig auf der Temperatur Null gehalten werden, sondern wenn etwa an dem Ende л; = 0 die konstante peratur Uq an dem Ende x = l die konstante Temperatur щ schrieben ist, so führt der Gedanke, daß sich nach hinreichend langer Zeit eine proportionale Temperaturverteilung einstellen wird, dazu, die Lösung in der Form

«^ = ^0 + у К — %) + ^ anzusetzen. Da aber, wie man sofort sieht,

Wo + у (^1 — Щ)

selbst eine Lösung ist, so genügt v der gleichen Differentialgleichung, und wir sind auf das gerade behandelte Problem zurückgekommen. Denn V muß bei x =0 und bei x =1 für alle Zeiten verschwinden.

§ 3. Der unbegrenzte Leiter.

Hier soll längs der ganzen unbegrenzten л;-Achse eine stetige tion f{x) gegeben sein, und es fragt sich, ob man stets eine Lösung von (1) finden kann, für die u{x,0) =f{x) ist, und weiter, ob diese Lösung eindeutig bestimmt ist. Man bedient sich einer Erweiterung der Methode der Partikularlösungen und schließt so: Die Funktion

1 «•

genügt jedenfalls der Differentialgleichung. Daher ist auch