§ 3 Die meromorphen Funktionen mit unendlich vielen Polen 109

sm z cos z 1 T- 1 . • -/Vi 1

also igz =-----, cot «г =-----meromorphe Funktionen. Überhaupt ge-

hören die meisten in der Analysis auftretenden eindeutigen Funktionen zu den meromorphen.

§ 2. Die meromorphen Funktionen mit endlich vielen Polen.

Ist f{z) eine meromorphe Funktion, die keinen Pol im Endlichen besitzt, so ist sie eine ganze Funktion.

Besitzt die meromorphe Funktion / [z) nur endlich viele Pole im Endlichen, so seien diese

und

die zugehörigen meromorphen Teile (vgl. S. 57). Dann ist

к n—l

WO G(z) eine ganze Funktion bedeutet.

§ 3. Die meromorphen Funktionen mit unendlich vielen

Polen . Der Mittag-Lefflersche Satz.

Hat eine meromorphe Funktion /(z) unendlich viele Pole, so haben diese nur die eine Haufungsstelle oo. Denn jede Haufungsstelle von Polen ist nach Kap 3, § 7 eine wesentlich singulare Stelle, und wir haben bei der Definition der meromorphen Funktionen vorausgesetzt, daß i{z) höchstens die wesentlich singulare Stelle cx) hat. Da hiernach in jedem Kreise mit dem Mittelpunkt Null nur endlich viele Pole von j{z) liegen können, so lassen sich die Pole nach wachsenden absoluten Betragen anordnen Die Pole bilden dann also eine Folge

а^у a-tf апу aoy а-лу . «

von der Beschaffenheit, daß

I ^0 I ^ I ^1 I ^ I ^^2 I ^ ! '^3 I ^ I <^4 1 ^ • • *

und

hm a„ = oo

n - >co

ist Wir bezeichnen die zugehörigen meromorphen Teile von f{z) mit