David Hilbert. Über das Dirichlet'sche Princip. 185

ein Minimum ist. Diese Fläche ist, wie man leicht vermöge der Variationsrechnung zeigt, notwendig eine Potentialfläche. Mit dem Hinweise auf eine Betrachtung solcher Art hat Riemann den weis der Existenz der Lösung der Randwertaufgabe für erledigt gehalten und dann unbedenklich seine grofsartige Theorie der Ab schen Functionen hierauf begründet.

Es ist zuerst von Weierstrafs erkannt worden, dafs die hier angewandte Schlufsweise des Dirichletischen Princips nicht haltig ist: in der That, wäre nur eine endliche Anzahl von werten vorgelegt, so dürften wir ohne weiteres schliefsen, dafs es unter ihnen einen kleinsten Zahlwert giebt; unter einer unbegrenzten Anzahl von Zahlwerten jedoch braucht ein kleinster Zahlwert nicht notwendig vorhanden zu sein; es bedarf vielmehr eines besonderen Beweises, dafs in dem erörterten Falle thatsächlich eine Fläche s = f ipc^y) existirt, für welche der zugehörige Integralwert «/(f) ein kleinster ist.

Die wichtigen Untersuchungen von C. Neumann, H. A. Schwarz und H. Po in с are haben gezeigt, dafs unter gewissen sehr allgemeinen Voraussetzungen über die Natur der Randcurve und der Randwerte die Randwertaufgabe gewifs lösbar ist, und dadurch ist auf dem umgekehrten Wege die Existenz jener Minimalfunction f {x, y) sichergestellt.

Das Dirichlet'sche Princip verdankte seinen Ruhm der ziehenden Einfachheit seiner mathematischen Grundidee, dem baren Reichtum der möglichen Anwendungen auf reine und kalische Mathematik und der ihm innewohnenden Überzeugungskraft. Aber seit der Weierstrafs'sehen Kritik fand das Dirichlet'sche Princip nur noch historische Würdigung und erschien jedenfalls als Mittel zur Lösung der Randwertaufgabe abgethan. Bedauernd spricht C. Neumann aus, dafs das so schöne und dereinst so viel benutzte Dirichlet'sche Princip jetzt wohl für inmier dahingesunken sei; nur A. Brill und M. Noether rufen neue Hoffnung in uns wach, indem sie der Überzeugung Ausdruck geben, dafs das Dirichlet'sche Princip, gewissermafsen der Natur nachgebildet, vielleicht in modi- ficirter Fassung einmal eine Wiederbelebung erfährt.

Das folgende ist ein Versuch der Wiederbelebung des ief sehen Princips.

Indem wir bedenken, dafs die Dirichlet'sche Aufgabe nur eine besondere Aufgabe der Variationsrechnung ist, gelangen wir dazu, das Dirichlet'sche Princip in folgender allgemeineren Form zusprechen :

Eine jede Aufgabe der Variationsrechnung besitzt eine Lösung, sobald hinsichtlich der Natur der gegebenen Grenz-