Die abzählbaren Mengen.

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Gleichungen , und zu jeder Gleichung eine endliche Zahl von braischen Zahlen. Die Menge aller auf diese Weise dem v sprechenden algebraischen Zahlen sei Äp. Die Menge Ä aller braischen Zahlen wird daher durch

Л = ^Ar] = (Л^, ^-2, -^3, • • • • J.,, • • • • )

dargestellt und ist abzählbar. Insbesondere ist also auch die Menge aller reellen algebraischen Zahlen abzählbar, ebenso auch die Menge aller algebraischen Punkte des (7^.

Ich beweise endlich einen Cant о raschen Satz, der uns in der Theorie der Punktmengen vielfach begegnen wird und als verständliches Postulat vielen Beweisen früherer Zeit zu Grunde liegt. Er lautet:

IV . Jede unendliche Menge G von Gebieten eines tigen Raumes C^, die ganz aufserhalb von einander liegen, oder höchstens an den Grenzen zusammenstofsen, ist ab- zählbar^).

Ist nämlich a^ > «2 ^ % * * * ' ^^^^ Reihe positiver, unbegrenzt gegen Null abnehmender Zahlen, so sind die Gebietsteile, deren halt zwischen av und a^^i liegt, für jedes v in endlicher Menge (xv vorhanden. Es ist daher

( t = ((xi, 6^2,-----Gvi-----),

womit der Satz bewiesen ist^). H^

Die für den Beweis gemachte Annahme, dass alle Gebietsteile der Menge G endlich sind, ist keine Bedingung des Satzes. Falls sich nämlich gewisse dieser Gebiete ins Unendliche erstrecken, so betrachte man den t/- dimensionalen Raum C„ als Teil eines 0^4-1 und bilde ihn stereographisch auf eine Kugel Hv des Cr-fi ab; dann geht jedes Gebiet der Menge G in ein endliches auf H^ liegendes Gebiet über.

3 . Da eine abzählbare Menge abzählbarer Mengen selbst zählbar ist, so kann man umgekehrt fragen, wie oft man auf gemeinste "Weise eine abzählbare Menge M in abzählbare Teilmengen zerlegen kann. Diese Frage soll hier noch behandelt werden.

Die Menge M möge in die Mengen M' und M^ zerfallen, die beide unendlich resp. abzählbar sind. Ebenso zerfalle M^ in zwei unendliche Teilmengen Ж" und M^ u. s. w. Da jede unendliche Menge Teilmengen besitzt, die unendlich sind, so läfst sich dieser Process unendlich oft fortsetzen. Wir gelangen so zu einer Reihe unendlicher Mengen

M , Ж1, Ж2, Ж3, •••• Жу • • • -,

1 ) Math. Ann 20, S 117

2 ) Über die dem Beweis zu Grunde liegenden Begriffe des Gebiets und des ihm zugehörigen Inhalts vgl. den vierten Abschnitt.