52 A. Schoenflies, Bericht über die Mengenlehre.

Intervalle d^, <^2? ***^i"? ^w bedeckt wird. Derselbe Schlufs gilt aber auch für jeden Punkt a^, der Grenzpunkt einer Punktfolge

ist , so dafs auch der Schlufs von {a«^} auf aa^ == a/^ anwendbar ist. Wird nämlich vorausgesetzt, dafs jedes a«^. , von a^^ aus durch eine endliche Anzahl von Intervallen erreichbar ist, so gilt dies auch von a^; denn zu a^ gehört wieder ein Intervall d^^, und halb desselben liegen von einem bestimmten ^i an alle Punkte a« ^,

a« , -----. Da nun auch zu den Endpunkten а und Ъ Intervalle д

gehören sollen, so ist damit die Behauptung bewiesen.

Es ist nicht schwer, den gleichen Satz auch auf die Ebene und den Kaum zu übertragen^). Ist nämlich a^ jetzt ein Punkt eines ebenen Eechteckes H und d^ der um ihn gelegte Bereich, den ich der Einfachheit halber als Quadrat annehme, so gehört zu jedem Punkt a^ auf dem Umfang von ê^ ebenfalls ein solches Quadrat ^i, und aus dem eben bewiesenen Satz folgt, dafs es eine endliche Zahl von Quadraten giebt, so dafs zunächst alle Punkte a^ auf dem Umfang von ö^ innere Punkte eines dieser Quadrate werden. Es giebt daher jedenfalls auch ein Quadrat dgi ^3,s ö^ umschliefst, so dafs alle Punkte innerhalb und auf dem Umfang von Ö2 durch eine endliche Zahl von Quadraten bedeckt sind. Zu ihm giebt es ein analoges Quadrat Jg u. s. w., und der Beweis geht nun in analoger Weise weiter fort, wie der obige. Auch hier mufs zu jedem Punkt des Umfangs von H ebenfalls ein Bereich ô gehören.

6 . Der eben bewiesene Satz liefert den einfachsten Beweisgrund für das folgende Theorem: v

VI . Die Gesamtheit der Werte, die eine analytische Function in einem inneren Punkte ihres Convergenz- gebietes annimmt, ist abzählbar oder endlich.

Diesen Satz hat zuerst Vivanti bewiesen, in Folge einer von Cantor an ihn ergangenen Aufforderung^), bald darauf haben auch Poincare^) und Volterra*) einen Beweis dafür gegeben. Der Poincare'sche Beweis stützt sich in erster Linie darauf, dafs man für die Bestimmung eines im Punkte ^ vorhandenen Functions- wertes immer ein Functionselement wählen kann, dessen Mittelpunkt ein rationaler Punkt ist. Der eben bewiesene Satz sagt nun aus, dafs man, um von dem ursprünglichen Functionselement zu irgend einem daraus abgeleiteten zu gelangen, stets mit einer endlichen Zahl von Zwischenpunkten ausreicht. Ist daher r ein rationaler

1 ) Vgl. hierzu auch Thomae, Elementare Theorie, S. 29 (1880).

2 ) Rend. Palermo 2, S. 135 u. 150 (1888) und Zeitschr. f. Math. 34, S. 382.

3 ) Rend. Palermo 2, S. 197.

4 ) Rend. Line. (4} 4, S. 365.