Der Inhalt der Punktmengen.

89

dieser Definition ist es, dafs alle abzählbaren Punktmengen den Inhalt Null haben, während dies nach der Hank el-Cant or'seh en Definition nur dann der Fall sein kann, wenn die Mengen nirgends dicht sind. Die Differenz zwischen beiden Definitionen tritt natur- gemäfs nur bei solchen Mengen hervor, bei denen der äufsere und innere Inhalt von einander verschieden sind.

Der erste allgemeinere Inhaltssatz stammt von Cantor^); er lautet (1), dafs jede lineare Menge, deren Ableitung abzählbar ist^ den Inhalt Null besitzt^). Später hat Cantor den analogen Satz auch für Mengen eines beliebigen C^ bewiesen. Hankel hatte tümlich geglaubt, dafs jede nirgends dichte lineare Menge den Inhalt Null hat^); ihm waren die perfecten Mengen, insbesondere ihr Zusammenhang mit den überall dichten Gebietsmengen, unbekannt geblieben. Der Hanke Г sehe Irrtum wurde zuerst von St. Smith aufgedeckt, der ein erstes Beispiel einer solchen Menge gab, deren Inhalt nicht Null ist*). Später haben auch du Bois-Eeymond^), Harnack^), W. Veitmann'') und Volterra^) selbständig derartige Beispiele construirt. Yeltmann hat auch bereits ein Beispiel einer ebenen Menge angegeben, die Inhalt hat. Ein erstes allgemeines Kriterium, wann eine lineare nirgends dichte Menge den Inhalt Null hat, ist von Harnack angegeben worden (5).

1 . Der erste Cant or'sehe Beweis des Satzes, dafs eine lineare Menge Q unausgedehnt ist, wenn Q' abzählbar ist, hat nicht allein historisches, sondern auch methodisches Interesse und mag daher hier eine Stelle finden. Der Einfachheit halber denke man sich die Menge Q im Intervall 0 • • 1 enthalten, wohin man sie z. B. durch Ähnlichkeitstransformation projiciren kann. Der Beweis beruht darauf, dafs die zugehörige Intervallmenge D = [ö] abzählbar ist, während die Menge der Punkte der Einheitsstrecke die Mächtigkeit С besitzt. Sei и die Gesamtsumme aller Intervalle <î, so ist zu zeigen, dafs и = 1 ist.

Ist X irgend ein Punkt der Strecke 0 • • 1, so sei s = fix) die Summe aller Intervalle d, die x vorangehen, mit der Mafsgabe, dafs, falls x ein innerer Punkt oder Endpunkt eines Intervalls ist,

1 ) Math. Ann. 21, S. 54 (1883).

2 ) Eine solche Menge heifst auch unausgedehnt oder inhaltslos. Bei Harnack heifst sie in wenig glücklicher Bezeichnung discret; du Bois nennt sie wegen ihrer Beziehung zum Integralbegriff integrirbar.

3 ) Math. Ann. 20, S. 88.

4 ) Proceedings of the Lond. math. Soc. 6, S. 148 (1875). Vgl. auch S. 101 dieses Berichts.

5 ) Math. Ann. 16, S. 128.

6 ) Math. Ann. 19, S. 239.

. 7 ) Zeitschr. f. Math. 27, S. 176 u. 199. 8) Giern, di mat. 19, S. 80 ff. (1881).