110 A Schoenflies, Bericht über die Mengenlehre

überall dichter Intervalle, wie diese Intervalle auch zu einander liegen mögen, resp fur jede aus derartigen Mengen gebildete samtmenge {Е^''Ц

Ich werde die Mengen jEJ = {г, } sowie die durch sie bestimmten Mengen Q resp {Ç^'^} im folgenden als BoreTsche Mengen bezeichnen

über Mengen zweiter Kategorie führe ich noch folgenden Satz an:

IV Die gemeinsamen Punkte zweier Mengen zweiter Kategorie bilden ebenfalls eine Menge zweiter Kategorie

Ist namlich Ж die eine dieser Mengen, und ist sie Complementar- menge von {Ç^^^}, die andere M^ Complementarmenge von {Ç^/^}, so bilden auch die Mengen

3K ( c , Ci ) , Ш{с\с,), aR((2W,ç(-)), •••

m ihrer Gesamtheit eine Menge erster Kategorie, woraus der Satz unmittelbar folgt

Endlich noch eine letzte Bemerkung Keine der beiden Arten von Punktmengen, zu denen wir hier gelangt sind, namlich die Menge Ш { Ç^^^}, und ihre Complementarmenge Ж, ist abgeschlossen ^) Sie stellen also allgemeine Vertreter der m (5) an Beispielen be handelten Mengengattung dar In der That bilden sie auch jenigen Typen, die bei Functionen reeller Variablen überall da treten, wo man zu Mengen der Mächtigkeit с gelangt, die nicht geschlossen sind Es wurde zu untersuchen sein, ob jede überall dichte nicht abgeschlossene Menge der Mächtigkeit с stets eine Menge erster oder zweiter Kategorie ist Ich mufs mich jedoch begnügen diese Frage anzudeuten

Da die vorstehenden Betrachtungen nur mit den Intervallen â operiren, so lassen sie sich ohne Ausnahme auf Mengen eines liebigen Cr übertragen Man braucht unter den ô nur die sprechenden Bereiche zu verstehen, und alles bleibt m Geltung

8 Auch die Begriffe der Mengen erster und zweiter Kategorie sind, wie ich noch ausdrücklich begründen will, nicht an das Con tinuum gebunden; sie lassen sich fur jede perfecte Menge T de finir en Ist Z7 eine m T überall dichte Menge, und gehört zu jedem Punkt it em Intervall oder Bereich ^, so kann man wiederum die Menge aller derjemgen Punkte ms Auge fassen, die nicht innere Punkte eines Bereiches ô sind, und sie mufs wieder eine geschlossene Menge Q sein Allerdings enthalt jetzt Q im allgemeinen ganze Intervalle resp Gebiete Nun betrachten wir die Menge

1 ) Eine unendliche Menge abgeschlossener Mengen braucht also nicht selbst abgeschlossen zu sein Eine endliche Menge abgeschlossener Mengen ist jedoch stets abgeschlossen