212 A. Schoenflies, Bericht über die Mengenlehre.

der vier Ableitungen in Betracht gezogen wird. Auch für sie steht im einfachen Fall der Fundamentalsatz uneingeschränkt, lich der Satz:

IV . Hat für zwei im Intervall a-^x-^b stetige tionen F(x) und Ф(х) irgend eine der vier Ableitungen in jedem Punkte von а • • • Ь den nämlichen endlichen Wert, so können sich F(x) und Ф(х) nur um eine Constante unterscheiden.

Da dieser Satz grundlegend für das folgende ist, so teile ich den Beweis Scheeffer's hier mit. Wir betrachten die Function

W ( x ) = с(ж — a) + F{x) — Ф{х) — (F (а) — Ф(а)),

und es seien DF(x)^ 1>Ф{х)^ DW(x) die bezüglichen Ableitungen. Wird zunächst с als positive Constante vorausgesetzt, so beweist man zunächst, dafs W{x) im Intervall a - • • Ъ nirgends negativ sein kann. Wäre nämlich § ein Wert des Intervalles a • - • Ь^ so dafs Ф*(§) < О wäre, so giebt es eine in а • • • ^ enthaltene obere Grenze §' aller derjenigen Werte, für die W{où) nicht negativ ist, und es folgt aus der Stetigkeit von 4F{x)^ dafs notwendig W{i') = 0 ist. Es ist also ^'<êî und es müfste für jeden Wert ^" des Intervalles ^'- • • I die Relation

^ ( ro — ^(Г) < 0

bestehen . Daraus würde aber weiter 1)Ф'(^')^0 folgen; da aber andererseits ВФ{х) und DW(x) beide überall endlich sind, so ist leicht ersichtlich, dafs I)W(x) = с ist für jedes x. Damit ist wiesen, dafs W{x) nirgends negativ sein kann, und da dies für liebiges с gilt, so folgt weiter, dafs auch

F { x ) — Ф(х) - [F{a) - Ф{а)-\

nirgends negativ ist. Ebenso beweist man, dafs diese Differenz nirgends positiv sein kann, d. h. es ist

F { x ) — Ф{х) = F (а) — Ф(а),

womit der Satz bewiesen ist.

5 . Sei nun die Menge L der Ausnahmepunkte zunächst nirgends dicht, so bestimmt sie eine Menge I) = {ô} punktfreier Intervalle und damit eine abgeschlossene Menge Ç, in Bezug auf die L all dicht ist. • In jedem Intervalle 6 besteht dann der Satz IV in der Weise, dafs die Differenz F(x) — Ф(х) für jedes innerhalb ô gelegene Teilintervall ö' eine Constante ist, und man schliefst nun aus deï Stetigkeit von F(x) — Ф(а?), dafs dies auch für ö^ selbst der Fall ist. Gemäfs den Betrachtungen von S. 166 ist daher F{x) — Ф(х) entweder eine Constante, oder eine streckenweise constante stetige Function. Das erste ist notwendig der Fall, wenn t = й ist; das zweite kann nur dann der Fall sein, wenn Ï == с ist. Also folgt: